现在让我转向随机游走理论的一个基本结果
它被称为中心极限定理。
让我们想象一下任意空间维度的随机漫步
其中单步是由位移x给出的
这些单步的概率分布
由p (x)给出。
我们假设这些小x是iid变量。这是一个标准的缩写
对于独立的，相同的分布。
让我写一下独立且相同的分布。
也就是说，对于每个x, p (x)是相同的分布函数。
让我们进一步假设单步的平均位移，
所以我们不再需要把自己限制在对称随机游走中。
我们假设每一步的平均位移是有限的，
非常轻微的限制。
我还假设一步的均方位移
也是有限的。
在这些条件下，N步后的概率分布，
表示为P_N (X)
所以这里，X是位移的总和，表示 N个x。
那么，总位移的概率分布等于
1 /√(2 n²)e ^ (- x) - n乘以
x² 的平均值，除以 2n²，
这里sigma平方等于单步分布的方差。
也就是x的平方平均减去x的平均平方之差。
这个表述被称为中心极限定理。
我应该说它成立极限是N趋于无穷。
这是一个非常强大和普遍的结果，因为一个人只需要满足
这两个前提，这些是唯一重要的东西
确定随机漫步的长距离、长时间属性。
这是一个普遍的例子其中的短期细节
微观的过程，即单个步骤的细节基本上都做到了
在长期限制下没有关系。
如果我们讨论的是最近邻随机漫步，这并不重要
维数或其他类型的跳跃分布也可以满足，只要是分布
服从这两个条件，第一和第二矩是有限的，那么
长时间极限的分布是普遍的高斯形式。
注意，从这个结果中，我们知道了平均位移
在随机游走N步之后，也就是对xpn (x)的积分，dx等于
等于n乘以一步后的位移。
类似地，随机游走多步后的方差，x²
平均减去x平均的平方。
还是用和之前一样的定义，这是x²
p_N (x) dx减去x的平均值的平方，我们已经计算过了。
这个式子就等于N*σ²。所以，一旦我们知道了第一和第二矩
是什么，我们就知道了
N步随机游走的分布由高斯形式给出，
从这里我们可以计算任意时刻的随机漫步。