表征随机游走的更加基本方式
是概率分布，
也就是随机游走
在时间t时处于位置x的概率，我们称之为
基本概率分布p(x,t)
我现在要做的是对于离散空间，离散时间，一维随机游走
计算这个分布
让我们想象一个随机漫步
在一维空间里，有离散的地点，比如
这是位置x-2, x-1, x+1和x+2。
我们假设随机游走可以移动
到最近的邻居，向左向右概率相等
从x跳1次
向右1的概率为1 / 2
在左边也是1/2。从x+1出发也是一样
跳到x+2的概率是1 / 2
到左边的概率是1 / 2，同样的
对于晶格的其他位置。有了这样的图像，
现在我来计算
这个随机游走的概率分布
这个分布由所谓的主方程计算
它描述了这个概率分布是如何演变的
那么如何在时间t时到达位置x呢?
只有两种方式可以发生这种情况。要么是随机的游走者
原本在x-1处，它以1 / 2的概率
向右跳了一下， 也就是说它上一个时刻
处于x-1位置，所以有1 / 2*p（ x-1）的概率
这里1 / 2表示
它向右跳的
概率是1 / 2。或者随机游走者
在前一个时间步在位置x+1
然后跳到左边。这个方程叫做
主方程，它描述了如何
概率分布随时间的变化而变化。
事实上，相比于直接计算P (x,t)
P (r,t)的计算更加简单
他表示在时间t时，我已经向右移动了r步
也就是说这里r表示向右移动的步数
定义 l 为向左走的步数。
然后r+l，总步数表示
总时间t, r-l是
向右移动减去向左移动的步数之差
等于位置x，一旦我们
计算p(r,t)我们就能重建
p (x, t)。那么p(r,t)是什么? 原则上是可以的
直接解主方程，但我在这里
我要论证实际上可以
由 p (r, t)间接求出p (x ,t`)
所以总行走次数
任意大小，任意方向，都等于t !
因为我可以按任何顺序进行步骤。所以有
一个整体因子 t !然而，如果我想
限制我向右走r步，
这意味着在这些t！排列中
有r个是向右的，l 个是
向左的。为了不重复
我们需要把t !除以
r !，因为所有的步骤都可以被打乱
这不影响我们最终都在同一个地方。
对向左走的也一样。然后需要乘以(1 / 2)^t
因为每一步都是
概率是1 / 2。所以这个量是
是随机游走者在总共t步中向右走了r步
的概率。现在
利用r, l, t和x之间的关系，我们可以
计算 r = (t+x)/2，类似地
l = (t-x)/2。因此我们有
基本结果，p(x,t)等于
t ! 除以 [(t + x) / 2 ] !
[(t - x) / 2 ] ! 1 / 2的t次方，
现在，在这种离散形式下，我们实际上不太方便
做任何操作，因为它是离散的
我们不能用微积分的力量。所以,
一般来说，我们想要找到当t趋于无穷时
这个概率分布会变成什么样
我们可以用斯特林近似
将阶乘化简为解析函数，
我写一下斯特林近似。
结果是，经过一些代数运算，2除以
√t, e ^ (- 2x²/ t)
这个量被称为高斯概率
分布，我们会学到，它是
随机游走相对普遍的特征。
现在我已经从离散到
连续因为这个公式是离散的
时间、离散空间、上的随机游走……即使它是
概念上是基本的，在分析上不太方便
所以我要通过在连续统极限下处理这个问题
得到更加优雅的
高斯函数
这将是下一张幻灯片的主题。
这堂课结束后，有人
指出我在结果的地方犯了一个愚蠢的错误
在使用斯特林近似
从概率的阶乘表达式出发
得到的高斯分布中，2不属于
在分子上，它应该在分母上。
很抱歉。