Una forma más fundamental para caracterizar un camino aleatorio
es por su distribución de probabilidad, a saber,
la probabilidad de que un camino aleatorio
esté en una posición x en el tiempo t.
A esta distribución de probabilidad fundamental la llamaremos P(x,t).
Lo que vamos a hacer ahora es calcular esta distribución
para un camino aleatorio unidimensinoal con espacio discreto y tiempo discreto.
Imaginemos un camino aleatorio en 1 dimensión,
con sitios discretos como éstos,
y sus posiciones x-2, x-1, x, x+1, x+2,
y supongamos que el camino aleatorio salta
a los vecinos inmediatos con la misma probabilidad a izquierda que a derecha.
Así, de x salta con probabilidad 1/2 a la derecha,
y probabilidad 1/2 a la izquierda.
Y de forma similar, de x+1 podéis tener x+2 con probabilidad 1/2,
o a la izquierda con probabilidad 1/2,
y lo mismo para cualquier otro sitio de la retícula.
Con esta imagen, dejadme ahora calcular
la distribución de probabilidad de este camino aleatorio.
Y esta distribución de probabilidad se
calcula por medio de algo llamado ecuación maestra,
que describe cómo esta distribución de probabilidad evoluciona con el tiempo.
Entonces, ¿cómo puede haber una posición x en el tiempo t?
Sólo hay 2 formas de que ésto ocurra.
O el camino aleatorio viene de x-1, y salta a la derecha con probabilidad 1/2,
era x-1 en el tiempo previo,
o sea, tendremos 1/2 P x-1, un paso a la izquierda en el tiempo previo,
y, de hecho, salta a la derecha con probabilidad 1/2.
O el camino aleatorio estaba en la posición x+1
en el momento anterior y salta a la izquierda.
Y este objeto se llama la ecuación maestra,
y describe cómo la distribución de probabilidad evoluciona en el tiempo.
Ahora, resulta más simple, en lugar de calcular P(x,t),
fijarnos en P(r,t), la probabilidad de que
en un tiempo t se produzcan r pasos a la derecha.
Aquí, r minúscula es el número de pasos a la derecha,
y dejadme definir l minúscula como el número de pasos a la izquiera.
Y entonces, r+l, la suma del número de pasos a derecha e izquierda
es el tiempo total t,
y r menos l, la diferencia entre pasos a derecha e izquierda, es igual a equix.
Y una vez que calculamos P(r,t), seremos capaces de reconstruir P(x,t).
Así que, ¿qué es P(r,t)?
En principio, se puede resolver la ecuación maestra directamente,
pero aquí vamos a argumentar probabilísticamente.
Símplemente tengo que contar el número total de caminos
que toman todos los pasos a la derecha.
Y el número total de de caminos de cualquier tamaño, de cualquier orientación
es t!, porque puedo tomar los pasos en cualquier orden.
Así, hay un factor global t!
Sin embargo, si quiero restringir el camino
para tomar r pasos a la derecha,
las t! combinaciones de los pasos
tienen que darse a la derecha
y todos los demás tienen que darse a la izquierda,
y el número de diferentes formas de hacerlo
se consigue dividiendo t! entre r!,
porque los pasos a la derecha pueden tener cualquier orden
y todos acaban en el mismo sitio.
Y lo mismo pasa con el número de pasos a la izquierda.
Y entonces tenemos un medio elevado a t
porque cada paso ocurre con probabilidad un medio.
Y esta cantidad es precisamente la probabilidad de que un camino aleatorio
tenga r pasos a la derecha en un total de t pasos.
Pero ahora, usando esta relación entre r, l, t y x, podemos calcular
r igual a ( t más x ) partido por 2,
y de forma similar, l es igual a ( t menos x ) medios.
Y por tanto, tenemos un resultado fundamental
que P(x,t) es igual a t! dividido por
(t+x) medios factorial y (t-x) medios factorial
y multiplicado por un medio elevado a t.
En esta forma discreta, no es muy conveniente
hacer más manipulaciones,
porque es discreto, y no podemos utilizar el poder del cálculo.
Y en general, queremos hallar la distribución de probabilidad
en el límite, cuando t tiende a infinito.
Y en este límite de tiempo tan prolongado,
podemos utilizar la aproximación de Stirling
para reducir los factoriales a funciones analíticas.
Dejadme escribir la aproximación de Stirling
y el resultado es, tras realizar algún álgebra
raíz cuadrada de 2 dividido entre pi y t
y multiplicado por e elevado a menos 2 equix cuadrado medios.
Y esta cantidad es conocida como la distribución de probabilidad gaussiana,
y, como aprenderéis, es una característica relativamente universal
de los caminos aleatorios.
Pasamos de lo discreto a lo continuo,
porque esta formulación de camino aleatorio en tiempo discreto, espacio discreto,
aunque es conceptualmente elemental, es analíticamente un poco floja,
y por eso voy a llegar a la distribución de probabilidad gaussiana
de una forma más elegante, tratando este problema en el límite continuo.
Y éste será el tema de la siguiente diapositiva.
Tras finalizar esta clase, alguien señaló
que cometí un error estúpido en el resultado final.
Usando la aproximación de Stirling para
transformar las expresiones factoriales de la distribución de probabilidad
a la gaussiana, el 2 no debe ir en el numerador, sino en el denominador.
Perdón por ésto.