随机游动的一个显着特点

它是空间维度，用d来表示，

起着至关重要的作用。

我们通常想到的

随机游动作为一个运动，关于

一维，二维，或三维

空间，但我们有必要延长

自己想想随机游走

在任意d维空间.

当我们将看到为d的函数有

是在基本的过渡

的随机游走属性

因此，让我们想到一个典型的皮尔森随机

游走，现在让我在一个连续的平局画一个公式，

所以它的一些连续

追踪从开始的时候，

以及有关在随机游走的运动，

让它运动直到时间t。

正如我们所了解到，RMS位移

在t的平方根，

所以有一个特征距离

一种随时间变化的平方根。

因此，我们可以定义一个探索领域

作为范围在其上的典型

随机游动可以预期

要延伸到时间t。

现在，让我们计算点的密度

访问此勘探球内。

所以访问

的密度

因此，让我称之为数量Ρ。

那么，什么是访问的网站这个密度是多少？

它的访问的网站的数目，除以

由勘探球的体积。

所以在时间t，

我们随机步行者会

参观T位，

然后我们必须分配

由勘探球的体积

这是它的半径，这是平方根

吨至电源的，空间维度，

次一些...

...恒定数值的因素

无关出于这种考虑。

关键的一点是，这个量

有一个有趣的依赖

它是1-d/2的幂

所以访问的网站这个密度有三个

依赖于基本行为

空间维度。所以，如果我看在总结

以P如何依赖于时间，有三个

答案。

对于d > 2这个密度会去

0，因为对于d > 2，这是一个负

在无限的时间限制李氏指数的话，

这个密度变为0，所以也许我应该

写→这里在T极限将至

要无穷大。所以，出现这种情况的

d > 2. 对于d < 2另一方面，然后

这是一个积极的指数，因此该

访问过的站点密度将至

无限.

在d = 2这个指数等于0

因此它会建议的密度

方法是d = 2的常数。

这一变化无穷之间的行为

密度零密度也什么

称为短暂之间的过渡

和重现

因此，对于 d < 2，这一制度

是所谓“经常重现的行为”。

什么是周期性行为的意思

是，由于点的密度是

无限的，它意味着一个随机沃克

它动一下将访问每一个

现场。因此，在特别地，如果开始在

一些网站，你保证你

最终必须回到该网站。

因此，经常性制度，也是政权

其中，随机助行器的返回

是一定的。

相反，对于d > 2，这是

什么叫“瞬态政权”。

而在短暂的政权，如果您启动

随机步行者从给定的点，

因为点的密度将要

0，这是不能肯定它会

返回到它的起点。

所以在这里，回报是不确定的。

在d = 2 过度状态实际上是不真实的

在经常性的政权，因为事实

是该参行为

是结果

这种非常粗略的，

是这一个缺陷

推理非常粗略路线，

事实证明，正确的行为

密度是，它是这样的日志吨

两个维度。

所以这个基本的结果

这里讨论的是，对 d ≤ 2，

随机游走反复重现

和回报是肯定的。

对于d > 2，随机游走是短暂的，

其收益是不确定的。

要强调重要的一点是

尽管回报为某

d ≤ 2，我们将学习在本月底

教程，平均时间返回

起源实际上是无限的。

一定的回报和之间的这种二分法

无限的返回时间是什么使随机

游走如此迷人。