随机游动的一个显着特点
是空间维度（用d来表示）
起着至关重要的作用。
我们通常想到的
随机游走处于
一维，二维，或三维
但我们有必要让
自己想想任意d维空间下
的随机游走
当我们将看到，随着d的变化
随机游走的基本属性
会发生变化
我们看一个典型的皮尔森随机游走
现在让把情景连续化
也就是说这个连续的轨迹
表示从一个点开始
的随机游走
让它运动直到时间t。
正如我们所了解到，位移均方根
正比于t的平方根，
所以有特征距离
随时间的平方根变化。
因此，我们可以定义一个探索领域
作为t时间后
典型的随机游走可以到达的
范围
现在，让我们计算此勘探球内
被探索到的点的密度。
我写上被探索到的
点的密度
我称之为数量rho。
那么，被探索到的点的密度是多少？
它是被探索到的点的数量除以
由勘探球的体积。
所以在时间t，
我们随机步行者会
参观t个点，
然后我们必须除以
由勘探球的体积
也就是它的半径（t的平方根）
的d次方
乘以一些
...常数，这里出于无关考虑
我们不关心它们
关键的一点是，这个量
有一个对于时间有趣的依赖
它是1-d/2的幂
所以被探索到的点的密度，取决于空间维度
有三个基本行为
所以，从整体来看rho
如何依赖于时间，我们可以得到三个
答案。
对于d > 2这个密度是0
因为对于d > 2，这是一个负指数
在无限的时间后
这个密度变为0，所以也许我应该
画上箭头表示t取极限至
无穷大。现这种情况
发生于d > 2. 对于d < 2，在另一方面，
这是一个正的指数，因此该
被探索到的点的密度
趋向于无线
在d = 2这个指数等于0
因此它会表示的密度
趋向于一个常数。
这一在无穷和零密度之间的
变化
被称为暂态和重复
的过渡
因此，对于 d < 2，这一制度
是所谓“重复”（recurrent）。
“重复”（recurrent）代表
由于点的密度是
无限的，它意味着一个随机行走者
将访问每一个点
因此，如果你开始在某个特定的点
我们可以保证
你将最终回到这个起始点
因此“重复”（recurrent）也就表示
随机游走的返回性
是确定的
相反，对于d > 2，
我们称为“瞬态”（transient）。
在这种情况下，如果随机游走者
在某个地方出发
由于被探索点的密度将要变成0
我们不能肯定它会
返回到它的起点。
所以在这里，返回是不确定的。
在d = 2 的过度状态实际上
处于“重复”这一区间内
实际上我们得到的这个常数
是这个非常粗略的
计算结果
是这一个错误
因为计算太过粗略了
事实证明，正确的
密度在二维游走下是
类似于log(t)的形式
所以这个基本的结果
表明对 d ≤ 2，
随机游走反复重现
返回是肯定的。
对于d > 2，随机游走是暂态的，
其返回是不确定的。
要强调重要的一点是
尽管返回对于d ≤ 2是确定的
我们将学习在本月底的课程中发现
平均时间返回
起点实际上是无限的。
这种分割确定返回和无限返回时间
的二分法使得
随机游走如此迷人。