Una característica llamativa de los caminos aleatorios
es que la dimensión espacial, d minúscula, juega un papel crucial.
Normalmente, pensamos que el camino aleatorio se mueve
en una dimensión, 2 dimensiones o 3 dimensiones,
pero es necesario extendernos y pensar en los caminos aleatorios
en dimensiones espaciales arbitrarias, d.
Y como veremos, en función de d,
hay una transición en una propiedad fundamental
del camino aleatorio.
Así que, pensemos en un típico camino aleatorio de Pearson,
y dejadme dibujar ahora en una formulación continua
una trayectoria continua que comienza en algún punto
y se mueve de forma aleatoria, y dejadlo hasta el tiempo t.
Y como hemos aprendido, la rms del desplazamiento
aumenta con la raíz cuadrada de t.
Así que, hay una distancia característica
que crece con la raíz cuadrada del tiempo.
Y podemos definir una esfera exploratoria
como el alcance en el que el típico camino aleatorio
se espera que se extienda hasta el tiempo t.
Y ahora calculemos la densidad de puntos visitados dentro de esta esfera exploratoria.
Así que la densidad de sitios visitados,
dejadme llamara esta cantidad ro.
¿Y cuál es esta densidad de sitios visitados?
Es el número de sitios visitados, dividido por el volumen de la esfera exploratoria.
Así que, en el tiempo t, un camino aleatorio visitará t sitios,
y luego tenemos que dividir por el volumen de la esfera exploratoria,
cuyo radio es la raíz cuadrada de t elevado a la dimensión espacial
multiplicado por una constante, un factor numérico
que es irrelevante para esta consideración.
El punto crucial aquí es que esta cantidad
tiene una dependencia interesante del tiempo
es t elevado a 1 menos d medios.
Así que, esta densidad de sitios visitados
tiene 3 comportamientos fundamentales,
dependiendo de la dimensión espacial.
En resumen, cómo depende ro del tiempo tiene 3 respuestas:
Para dimensión mayor de 2, esta densidad tenderá a cero,
porque para una dimensión mayor de 2, esto es un exponente negativo,
y en el límite de tiemp infinito, esta densidad va hacia cero.
Así que, debo escribir ro con límite t tendiendo a infinito.
Y esto ocurre para d mayor de 2.
Par de menor de 2, por otra parte, ésto es un exponente positivo,
y la densidad de sitios visitados se aproxiama a infinito.
En d=2, este exponente es igual a 0,
y ésto sugiere que la densidad se aproxima a una constante,
para d = 2.
Este cambio de comportamiento entre densidad infinita y densidad cero
es lo que también se llama transición entre transitoriedad y recurrencia.
Así, para d < 2, este régimen es lo que se llama comportamiento recurrente,
y lo que significa comportamiento recurrente
es que puesto que la dendidad de puntos es infinita,
significa que el camino aleatorio se mueve o visita cada sitio individual.
Y en particular, si empezáis en algún sitio,
tenéis la garantía de que volveréis finalmente a ese sitio.
Y por eso, el régimen recurrente es aquél
en el que el retorno del caminante aleatorio es seguro.
Al contrario, para d > 2 es lo que se llama el régimen transitorio,
y en el régimen transitorio, si lanzáis un
camino aleatorio desde un punto dado,
dado que la densidad de puntos tiende a cero,
no es seguro que vaya a volver al punto inicial.
Así que aquí, el retorno es dudoso.
La transición a d = 2, permanece de hecho
en el régimen recurrente, porque resulta
que este comportamiento constante
es el resultado de una línea cruda de razonamiento,
y resulta que el comportamiento correcto
es que se produce como logaritmo de t en 2 dimensiones.
Así, el resultado fundamental de esta discusión es que
para d menor o igual a 2, el camino aleatorio es recurrente,
y el retorno se puede asegurar;
para de mayor de 2, el camino aleatorio
es transitorio y su retorno es dudoso.
Un punto importante a recalcar es que
incluso aunque el retorno sea seguro para d menor o igual a 2,
como aprenderemos al final de este tutorial,
el tiempo medio para volver al origen
es de hecho infinito.
Esta dicotomía entre retorno seguro y tiempo de retorno infinito
es lo que hace los caminos aleatorios tan fascinantes.