现在让我提醒你我们接下来要讲什么。
首先，我将演示随机游走的均方根位移
是时间的平方根尺度这一随机游走理论中
的基本的结果。
接下来我要说明二维空间是特殊的。 在二维及以下的空间
随机漫步是循环的， 也就是说它肯定会回到它的
起始点，而对于大于2的维度， 随机游走是
暂态的，它是否返回到起点是不确定的。
接下来，我将展示随机漫步的概率分布，并展示
如何推导扩散方程。
接下来我将讨论基本的中心极限定理
这个定理表明随机漫步的概率分布 在非常宽泛的条件下
是高斯分布
最后，我将介绍首次通过时间并
给出一些基本的例子。
作为理解随机漫步特性的第一步，让我们
计算随着步数不断增大，随机行走的距离如何变化
这可以用一个称为均方根的量来概括
由于均方根出现的频率很高，我们通常
用角标rms表示，所以在随机游走中
X_rms表示位移的均方根
最简单的情况是皮尔逊随机漫步
我们采取固定长度但方向随机的步。
这里每一步的长度是a，每一步之间的夹角是随机的。
我们可以用数学方程描述皮尔逊随机的性质
每一步的平均值等于a，步长固定。
而且，在行走中没有偏差，所以每个单个位移的平均值
等于0。这里尖括号
表示一段行走的平均值
由于每一步之间是独立的
因此xi和xj的点积
对于任意不相等的i，j，我们得到这个数学表达式
表示每一步之间没有相关性
有了这些假设，我们来计算N步后的平均位移
和位移的均方根。所以均值
位移，我用大写X下标N来表示
它等于单个位移从i = 1到N，对小x i求和
通过构造，每个xi都有一个平均值
值为0，所以我们把一大堆等于0的值加起来，就得到
零
现在看一下均方位移，我们要
求X N的平方，然后求平均值。那么这个量是多少呢?
再一次，我们要取位移之和x_i, i从1到N，平方这个整体
然后取平均值。所以当我们对这个和平方时，这个二项式，
有两种类型的项。我们有所谓的对角线项
比如x_i点乘x_i
表示成i从1到N， (xi²)的求和 然后是所有的交叉项
也就是对于 i 不等于j ，(x_i • x_j)的求和 然后我们需要得到
所有这些的平均值。通过构造，这些交叉项是
都是0，因为连续的步之间没有相关性，所以我们只要
忽略这个。对角线项都是相同的，它们是
每一步的平方长度-有N个这样的项，所以这是
只不过是N a^2。所以这个量被称为
位移的平均平方值，其平方根值
就是位移的均方根
也就是说X_rms被定义成平均 位移的平方开根号
它等于sqrt(N)*a，这是我们的得到的第一个基本性质
即位移均方根不是随步数线性增长的
却只正比于步数的平方根。
所以用随机游走探索空间实际上不是很有效。另一个
这里要强调的是 因子a构成了这个方程
量纲上的正确性， 因为在等式左边我们有长度单位
因此右边的需要有一个长度单位a
这便是随机游走理论中
一个基本的性质