בואו נזכר מה אנחנו הולכים לעשות בהמשך.
תחילה אדגים ששורש רבוע ממוצע התנועה של הליכה רנדומאלית
שקול לשורש הזמן. התוצאה המרכזית- תוצאה בסיסית מרכזית
של תיאוריית ההליכה הרנדומאלית.
בהמשך אראה שדו-ממד זה מקרה מיוחד. בדו ממד ומטה,
סריג של הליכה אקראית חוזר ומופיע, לרוב יחזור לנקודת ההתחלה,
לעומת זאת, בשלושה ממדים ויותר, ההליכה האקראית היא משתנה
וחזרה לנקודת ההתחלה איננה ודאית.
לאחר מכן, אציג את פיזור ההסתברות של ההליכה האקראית ואראה
כיצד לגזור את משוואת הדיפוזיה.
בהמשך אדון בתיאוריית המגבלה המרכזית שבה ההסתברות של הליכה אקראית
הינה גאוטית תחת כמה מגבלות
עדינות.
לבסוף, אציג כמה תכונות ראשוניות של הליכה אקראית
ואתן כמה דוגמאות מפתח.
צעד ראשון כדי להבין אופיה של הליכה אקראית, נחשב
כמה רחוק הליכה אקראית יכולה להגיע, כפונקציה של מספר הצעדים בהליכה,
זה מה שנקרא שורש ריבוע ממוצע התנועה
בגלל ששורש רבוע ממוצע התנועות מופיע רבות, נתייג זאת כאינדקס rms
כך ש-X rms ייצג את ההליכה הרנדומלית.
אז בואו נתייחס למקרה הפשוט ביותר, הליכה רנדומלית של אדם, שלה אורך קבוע של צעדים
בכיוון רנדומלי. באופן שבו לכל צעד יש אורך a והזוית שבין כל צעד, תטא, היא
רנדומלית. אז מתמטית אנו יכולים לתאר
מאפייני הליכה רנדומלית של פירסון הינו ממוצע מעדים שכל צעד שווה ל-a
ובעל אורך קבוע.
כמו כן אין תעדוף בהליכה, כך שהערך הממוצע של כל x חלקי i
שווה לאפס. כך שהזוית בסוגריים מתייחסת
לממוצע הכולל של כל האפשרויות של הליכה - הממוצע הכולל של כל האפשרויות של צעד בודד.
אז זהו הביטוי לכך שאין העדפה ויותר מכך
בגלל שהצעדים אינם מתואמים, נקודת הצלבה של Xi ו Xj לכל i שונה מ j
תהיה שוה לאפס. זהו הביטוי המתמטי לכך
שאין מתאם בין הצעדים, צעדים ראשוניים, או צעדים בהמשך הדרך.
תחת השערות אלו, בואו נחשב את ממוצע חלופי מקום של הליכה לאחר N צעדים
ואת שורש ריבוע ממוצע התנועה. אז ממוצע התנועה,
אציין ש X גדולה בחזקת N זהו פשוט סכום התנועה של פרט אחד
אז הסכום של i ששווה ל 1 עד ל N, של x i
ואנו לוקחים את הערך הממוצע. אבל באופן מובנה, כל אחד מ xi הוא בעל ערך ממוצע
של 0, אז אנו מסכמים קבוצה שלמה של ערכי 0, ולכן אנו מקבלים
שום דבר.
כעת נסתכל על השורש, על רבוע ממוצע התנועה, נקח את X n, נרבע ואז נעשה ממוצע.
אז מהי המידה הזו?
שוב נקח את סכום התנועה x i, כש i שווה 1 עד N, נרבע זאת ואז נקח את
הערך הממוצע. אז כשאנו מרבעים את הסכום הזה, הבינומינאלי,
יש שני סוגים של ביטויים. יש את המונח האלכסוני שבו
x i מנוקד ומוצלב עם xi כך שנקבל ביטוי שיראה כך- סכום של i ששוה לאחד עד N
של x i בריבוע, ויש את כל ביטויי ההצלבה
שבהם אנו מסכמים את כל הקומבינציות האפשריות של i שאינן שוות לj של x i
נקודה xj ואז אנו צריכים לקחת את הערך הממוצע של כל זה. כך שבאופן מובנה,
ביטויי ההצלבה הללו הם אפס משום שאין התאמה בין צעדים חלוציים, אז למעשה
הזנחנו זאת. הביטויים האלכסוניים, כולם זהים, הם האורך בריבוע של כל
צעד בודד, ויש N ביטויים כאלו ולכן
זה לא יותר מאשר Na בריבוע. אז מידה זו של XN ריבועים מוכר גם כרבוע ממוצע
התנועה והשורש הרבועי של רבוע ממוצע התנועה הוא בדיוק
ממוצע שורש ריבוע התנועה Xrms, אז Xrms
שמוגדר כשורש רבועי של ממוצע התנועה X N
שווה לשורש רבועי של Na. זוהי התוצאה הבסיסית של הליכה רנדומלית,
שתנועת ה-rms גדלה באופן לא ישר ליניארי
למספר הצעדים, אלא רק בהתאמה לשורש הריבועי של מספר הצעדים.
הליכה רנדומלית איננה יעילה כל כך לצורך סריקת מרחב. הנקודה השניה היא
שמודגשת כאן היא שיש כאן גורם שהופך משוואה זו לנכונה מבחינה מימדית
משום שבאגף השמאלי נמצאות יחידות האורך וגם באגף הימני יש יחידות אורך
וקנה המידה בחזית הוא השורש הריבועי של N. זוהי אחת התוצאות הבסיסיות והמהותיות
של הליכה רנדומאלית.