Dejadme ahora recordaros lo que vamos a tratar a continuación.
Primero demostraré que la raíz cuadrada
del cuadrado de la media de desplazamientos
de los caminos aleatorios aumenta con
la raíz cuadrada del tiempo. Un resultado central.
Un resultado central básico en la teoría de caminos aleatorios.
Después mostraré que 2 dimenensiones es especial.
En 2 dimensiones y por debajo
Un camino aleatorio de retícula es recurrente.
A saber, es seguro que vuelve al punto de inicio.
Mientras que para dimensiones mayores de 2,
el camino aleatorio es transitorio en el sentido de que
su regreso al punto inicial es incierto.
Después, presentaré la distribución de probabilidad
del camino aleatorio y mostraré cómo
derivar la ecuación de difusión subyacente.
Después discutiré el fundamental
teorema del límite central, en el que
la distribución de probabilidad del
camino aleatorio es gausiana bajo restricciones leves.
Finalmente, presentaré los primeros pasos
de las propiedades simples de los caminos aleatorios,
y daré algunos ejemplos elementales.
Como primer paso en la comprensión de
las propiedades del camino aleatorio,
calculemos cuánto se aleja el camino aleatorio
en función del número de pasos del camino.
Ésto queda encapsulado por una cantidad
conocida como la raíz de la media cuadrática del desplazamiento,
y como la raíz de la media de cuadrados
aparece tan a menudo, normalmente la designamos
con el índice rms, así que rms será la
raíz de la media cuadrática del
desplazamiento de un camino aleatorio.
Así que, la situación más simple que consideramos
es el camino aleatorio de Pearson, en el que
tomamos pasos de longitud fija, pero dirección aleatoria.
Así que, aquí, cada paso tiene longitud a,
y el ángulo entre cada paso, theta, es aleatorio.
Así que, matemáticamente, podemos describir
las propiedades del camino aleatorio de Pearson
como el valor medio de cada paso simple es igual a.
Así que, distancia de paso fijo.
Además, no hay sesgo en el camino, por lo que
la media del valor de cada desplazamiento individual
x sub i es igual a 0.
Aquí, los paréntesis angulares se entiende
que significan la media de todos los posibles valores del camino,
o todos los posibles valores de cada paso simple.
Esta es la declaración de que no hay sesgo
y más aún, como los pasos no están correlacionados,
ésto significa que el producto escalar de x sub-i por x sub-j
para cualquier i diferente a j, es igual a cero.
Éste es el la declaración matemática de que no hay correlación entre los pasos.
Los pasos sucesivos, o los siguientes pasos en el camino.
Así que, con estos supuestos, calculemos ahora
el desplazamiento medio de un camino tras n pasos
y la raíz de la media cuadrática del desplazamiento.
Así, la media del desplazamiento, indicado por X mayúscula sub-n,
es la suma de los desplazamientos individuales.
O sea, la suma de i igual a 1 hasta n de x minúscula sub-i,
y tomamos el valor promedio.
Pero, por construcción, cada x sub-i
tiene un valor medio de cero,
y sumando un montón de ceros da cero.
Así que obtenemos nada.
Veamos ahora la raíz de la media cuadrática del desplazamiento.
Así que tenemos X sub-N, al cuadrado,
y después tomamos la media.
¿Y cuál es esta cantidad?
De nuevo, tenemos que hacer
la suma de los desplazamientos x sub-i
con x igual a 1 a N, al cuadrado,
y después tomar el valor promedio,
Cuando elevamos al cuadrado esta suma,
este binomio, hay dos tipos de términos,
lo que se llama términos diagonales,
x sub-i multiplicado por x sub-i,
habrá términos como éste: sumatorio de i igual a 1 to N de x sub-i al cuadrado,
y luego están todos los otros términos cruzados
en los que sumamos todas las posibles combinaciones,
i diferente de j, de x sub-i multiplicado por x sub-j,
y luego tenemos que tomar el valor promedio de todo ésto.
Así que, por construcción, estos términos son cero,
porque no hay correlación entre pasos sucesivos,
así que olvidad ésto.
Los téminos diagonales, son todos idénticos,
el cuadrado de la longitud de cada paso individual
y hay n términos de este tipo,
así que ésto es N multiplicado por a al cuadrado.
Así que, esta cantidad, X sub-N al cuadrado,
es lo que se llama la media cuadrática del desplazamiento.
Y la raíz cuadrada de la media cuadrática del desplazamiento es precisamente
la raíz de la media cuadrada del desplazamiento, X rms.
O sea, X rms, que se define como la raíz cuadrada
de la media cuadrática del desplazamiento,
X sub N al cuadrado, promedio.
Ésto es igual a la raíz cuadrada de N multiplicado por a.
Y ésta es nuestro primer resultado fundamental sobre caminos aleatorios,
que es que la rms del desplazamiento crece
no linealmente con el número de pasos,
sino con la raíz cuadrada del número de pasos.
O sea, que el camino aleatorio no es muy eficiente explorando el espacio.
El otro punto a recalcar aquí es que
el factor a hace esta ecuación dimensionalmente correcta,
porque en la parte izquierda tenemos unidades de longitud,
y en la parte derecha tenemos unidades de longitud
y el factor de escala raíz de N.
Éste de uno de los resultados fundamentales
en la teoría de caminos aleatorios.