Существует много видов случайных блужданий и
я надеюсь... о некоторых из них, из огромного богатства,
у вас появились мысли.
Первое, это модель случайного блуждания Пирсона,
в котором каждый шаг фиксированной длинны, но в
случайно направлении. Что я вам показываю здесь!?
Это типичная траектория модели случайных блужданий Пирсона.
Другим примером является случайное блуждание по решетке,
в котором случайные шаги ограничены
движением между ближайшими клетками
некоторой решетки. Т. о. здесь шаги
фиксированной длины и направления,
север, восток, юг или запад.
Другим типом случайного блуждания является
так называемый полет Леви. В полете Леви, существует
широкое распределение шагов единичной длины,
но каждый шаг в случайном направлении.
Здесь мы видим смещение, после
многих шагов может доминировать
один самый длинный шаг блуждания.
Другой пример, который мне очень нравиться, это
сокращающиеся шаги, которые являются
случайным блужданием, которое становиться ленивее
и ленивее. И по прошествее времени длина n-ого шага
прекращается, когда lambda становиться меньше 1.
Удивительный аспект этого случайного
блуждания это тип распределения вероетности
как функция от фактора сокращения
лямбда.
Известно, что λ = 0.61, по факту наиболее точно
это золотое сечение (1 + sqrt(5))/2
распределение вероятности красивое
аналогичная картина повторяется во всех измерениях
т.о средний вид такое же как входное
распределения внутри среднего сгустка
является таким, что воспроизводит
распределение снова
Другим довольно интересным случаем является λ= 0.707 или 1/sqrt(2)
В этом случае, распределение вероятностей
создает три линейных сегмента, две наклонные линии и одна прямая.
Существует огромное количество других
интерестных случаев
случайных блужданий.
Другой интересный пример, который является
довольно близким к реальным, это турбулентная диффузия или случайные блуждания
которые происходят в случайном поле конвекции.
В этом случай, длина шага
возрастает с течением времени.
Можно предсказать поведение столба дыма
поднимающегося от горящей нефти
в океане.
Мы обсудили несколько типов случайных блужданий.
Как можно видеть, первые четыре типа
лежат в области центральной предельной теоремы
в которой распределение вероятности
стремится к гауссовому распределения, не зависимо
от особенностей микроскопического движения.
Такая универсальность является крайне полезной
в большом количестве массовых явлений.