Hay muchos tipos de caminos aleatorios, y mostraremos algunos de ellos para que tengáis una idea de su riqueza. Primero está el camino aleatorio de Pearson en el que cada paso tiene una longitud fija pero en una dirección aleatoria. Lo que muestro aquí es una trayectoria típica de este camino aleatorio de Pearson. Otro ejemplo es el camino aleatorio de retícula, en el que el camino aleatorio está restringido a moverse entre vecinos próximos de una retícula regular. Así que aquí los pasos son de longitud fija y las direcciones son norte, este, sur u oeste. Otro tipo de camino aleatorio es el llamado vuelo de Levy. En el vuelo de Levy hay una amplia distribución de las longitudes de paso simples, pero cada paso se da una una dirección aleatoria. Aquí veremos que el desplazamiento después de muchos pasos puede estar dominado por el paso simple más largo del camino. Otro ejemplo que me interesa mucho es el ejemplo de pasos menguantes, que es un camino aleatorio que se vuelve vez más perezoso conforme pasa el tiempo, y la longitud del paso n es lambda elevado a n donde lamba es menor de 1. Un aspecto sorprendente de este tipo de camino aleatorio es la diversidad de la distribución de probabilidad en función del factor de contracción lambda. Notad que cuando lambda es 0.61, de hecho, precisamente el número áureo, 1 más raíz de 5, dividido entre 2, la distribución de probabilidad es un patrón bellamente autosimilar que se repite en todas las escalas, de forma que la estructura central es igual que la distribución completa, y dentro de la estructura central hay algo que reproduce de nuevo la estructura completa. Otro caso especialmente interesante es lambda 0.707, que es de hecho 1 partido por la raíz cuadrada de 2. Aquí, la distribución de probabilidad está compuesta de 3 segmentos lineales, 2 líneas inclinadas y otra plana. Y hay más casos especialmente bellos de caminos aleatorios de pasos menguantes. Otro ejemplo importante que aparece en la naturaleza es la difusión turbulenta, en la que los caminos aleatorios se mueven en un campo de convección aleatorio. En este caso, la distancia de paso típica del camino aleatorio crece con el tiempo, y se pueden obtener un bello comportamiento parecido a plumas, como veis aquí de humo procedente de incendios de petróleo en el océano. Éstos son los tipos de caminos aleatorios que acabamos de discutir. Como veremos, los primeros cuatro tipos se sitúan en el dominio del famoso teorema del límite central, en el que la distribución de probabilidad es asintóticamente gausiana, independientemente de los detalles del movimiento microscópico. Este universal es un principio tremendamente útil en muchos fenómenos colectivos.