Hay muchos tipos de caminos aleatorios,
y mostraremos algunos de ellos
para que tengáis una idea de su riqueza.
Primero está el camino aleatorio de Pearson
en el que cada paso tiene una longitud fija
pero en una dirección aleatoria.
Lo que muestro aquí es una trayectoria
típica de este camino aleatorio de Pearson.
Otro ejemplo es el camino aleatorio
de retícula, en el que el camino aleatorio
está restringido a moverse entre
vecinos próximos de una retícula regular.
Así que aquí los pasos son de longitud fija
y las direcciones son norte, este, sur u oeste.
Otro tipo de camino aleatorio es
el llamado vuelo de Levy.
En el vuelo de Levy hay una amplia distribución
de las longitudes de paso simples, pero
cada paso se da una una dirección aleatoria.
Aquí veremos que el desplazamiento
después de muchos pasos
puede estar dominado por el
paso simple más largo del camino.
Otro ejemplo que me interesa mucho
es el ejemplo de pasos menguantes,
que es un camino aleatorio que se vuelve
vez más perezoso conforme pasa el tiempo,
y la longitud del paso n es lambda elevado a n
donde lamba es menor de 1.
Un aspecto sorprendente de este tipo
de camino aleatorio es la diversidad de
la distribución de probabilidad en función
del factor de contracción lambda.
Notad que cuando lambda es 0.61,
de hecho, precisamente el número áureo,
1 más raíz de 5, dividido entre 2,
la distribución de probabilidad es
un patrón bellamente autosimilar
que se repite en todas las escalas,
de forma que la estructura central es igual
que la distribución completa, y dentro
de la estructura central hay algo que
reproduce de nuevo la estructura completa.
Otro caso especialmente interesante es
lambda 0.707, que es de hecho
1 partido por la raíz cuadrada de 2.
Aquí, la distribución de probabilidad está
compuesta de 3 segmentos lineales,
2 líneas inclinadas y otra plana.
Y hay más casos especialmente bellos
de caminos aleatorios de pasos menguantes.
Otro ejemplo importante que aparece en la naturaleza
es la difusión turbulenta, en la que
los caminos aleatorios se mueven en
un campo de convección aleatorio.
En este caso, la distancia de paso típica
del camino aleatorio crece con el tiempo,
y se pueden obtener un bello comportamiento
parecido a plumas, como veis aquí
de humo procedente de incendios de petróleo en el océano.
Éstos son los tipos de caminos aleatorios
que acabamos de discutir.
Como veremos, los primeros cuatro tipos
se sitúan en el dominio del famoso
teorema del límite central, en el que la
distribución de probabilidad es asintóticamente
gausiana, independientemente de los detalles
del movimiento microscópico.
Este universal es un principio tremendamente
útil en muchos fenómenos colectivos.