No mundo macroscópico, 
o movimento de um objeto é determinístico.

O fato
desta bola estar imersa na atmosfera

É relevante na determinação da sua 
trajetória à curtas distâncias.

Entretanto, se esta bola fosse um
trilhão de vezes menor

Menor do que uma célula.

Então sua trajetória se tornaria 
estocástica

devido à colisão 
com moléculas do ar circundante

Este comportamento estocástico 
é o domínio dos caminhos aleatórios

O objetivo desse tutorial
é delinear algumas

elementares, fundamentais e belas 
propriedades

dos caminhos aleatórios.

Começarei mostrando alguns exemplos 
de caminhos aleatórios na natureza,

para ressaltar suas ubiquidade e
importância numa ampla gama de fenômenos.

E então eu mudo para
uma discussão quantitativa das

propriedades básicas dos
caminhos aleatórios.

Primeiro, vou mostrar que o deslocamento 
da raiz quadrada média

de um caminho aleatório

cresce conforme
a raiz quadrada do tempo decorrido.

Depois, vou discutir o papel crucial da 
dimensão espacial na questão fundamental

de se o caminho aleatório retorna ou não, 
eventualmente, ao seu ponto de partida.

A principal parte desse tutorial é voltada
pra determinar

a distribuição de probabilidade subjacente
de um caminho aleatório.

Também mostrarei como se recupera a 
equação de difusão

como limite contínuo da equação evolutiva

para a função da distribuição 
de probabilidade.

Uma importante característica de um
caminho aleatório

é de que sua distribuição de probabilidade
a longo prazo

é independente 
de quase todos os detalhes microscópicos.

Essa universalidade é expressada pelo
teorema do limite central,

o qual também ireia apresentar.

Também discutirei as enormes
funcionalidades que surgem quando as

condições prórias que subjacem o teorema
do limite central não são satisfeitas.

Finalmente, apresentarei algumas

propriedades básicas "first-passage"
dos caminhos aleatórios

e finalizar apresentando diversas
aplicações elementares e importantes.