No mundo macroscópico, o movimento de um objeto é determinístico.
O fato desta bola estar imersa na atmosfera
É relevante na determinação da sua trajetória à curtas distâncias.
Entretanto, se esta bola fosse um trilhão de vezes menor
Menor do que uma célula.
Então sua trajetória se tornaria estocástica
devido à colisão com moléculas do ar circundante
Este comportamento estocástico é o domínio dos caminhos aleatórios
O objetivo desse tutorial é delinear algumas
elementares, fundamentais e belas propriedades
dos caminhos aleatórios.
Começarei mostrando alguns exemplos de caminhos aleatórios na natureza,
para ressaltar suas ubiquidade e importância numa ampla gama de fenômenos.
E então eu mudo para uma discussão quantitativa das
propriedades básicas dos caminhos aleatórios.
Primeiro, vou mostrar que o deslocamento da raiz quadrada média
de um caminho aleatório
cresce conforme a raiz quadrada do tempo decorrido.
Depois, vou discutir o papel crucial da dimensão espacial na questão fundamental
de se o caminho aleatório retorna ou não, eventualmente, ao seu ponto de partida.
A principal parte desse tutorial é voltada pra determinar
a distribuição de probabilidade subjacente de um caminho aleatório.
Também mostrarei como se recupera a equação de difusão
como limite contínuo da equação evolutiva
para a função da distribuição de probabilidade.
Uma importante característica de um caminho aleatório
é de que sua distribuição de probabilidade a longo prazo
é independente de quase todos os detalhes microscópicos.
Essa universalidade é expressada pelo teorema do limite central,
o qual também ireia apresentar.
Também discutirei as enormes funcionalidades que surgem quando as
condições prórias que subjacem o teorema do limite central não são satisfeitas.
Finalmente, apresentarei algumas
propriedades básicas "first-passage" dos caminhos aleatórios
e finalizar apresentando diversas aplicações elementares e importantes.