En el mundo macroscópico,

el movimiento de un objeto es determinista

El hecho de que esta bola está
sumergida en la atmósfera,

es irrelevante en la determinación

de su trayectoria a corta distancia.

Sin embargo, si esta bola fuera

un trillón de veces más pequeña,

más pequeña que una célula,

entonces, su trayectoria sería estocástica,

debido a las colisiones con las
moléculas de aire circundante.

Este comportamiento estocástico

es el reino de los caminos aleatorios.

El objetivo de este tutorial es destacar

algunas propiedades elementales,
fundamentales y bellas

de los caminos aleatorios.

Comenzaré mostrando algunos ejemplos

de caminos aleatorios en la naturaleza,

para destacar su ubicuidad y su importancia

en una amplia gama de fenómenos.

Después, pasaré a una discusión cuantitativa

de propiedades básicas
de los caminos aleatorios.

Primero mostraré que la media cuadrática

del desplazamiento de un camino aleatorio

crece con la raíz cuadrada
del tiempo transcurrido.

Después, discutiré el papel crucial de

la dimensión espacial de la cuestión fundamental

de si un camino aleatorio vuelve o no
al punto inicial.

Una parte importante de este tutorial

está dedicado a determinar la

distribución de probabilidad subyacente

de un camino aleatorio.

También mostraré cómo se recupera

la ecuación de difusión
como el límite continuo

de la ecuación evolutiva de la

función de distribución de probabilidad.

Un rasgo llamativo del camino aleatorio

es que su distribución de
probabilidad a largo plazo

es independiente de casi todos los
detalles microscópicos.

Esta universalidad está personificada

por el teorema del límite central,

que también presentaré.

Tambén discutiré los rasgos
anómalos que surgen

cuando las condiciones que subyacen

al teorema del límite central no se cumplen.

Finalmente, presentaré algunas propiedades

básicas de los caminos aleatorios,

y acabaré presentando algunas

aplicaciones elementales e importantes.