En el mundo macroscópico,
el movimiento de un objeto es determinista
El hecho de que esta bola está sumergida en la atmósfera,
es irrelevante en la determinación
de su trayectoria a corta distancia.
Sin embargo, si esta bola fuera
un trillón de veces más pequeña,
más pequeña que una célula,
entonces, su trayectoria sería estocástica,
debido a las colisiones con las moléculas de aire circundante.
Este comportamiento estocástico
es el reino de los caminos aleatorios.
El objetivo de este tutorial es destacar
algunas propiedades elementales, fundamentales y bellas
de los caminos aleatorios.
Comenzaré mostrando algunos ejemplos
de caminos aleatorios en la naturaleza,
para destacar su ubicuidad y su importancia
en una amplia gama de fenómenos.
Después, pasaré a una discusión cuantitativa
de propiedades básicas de los caminos aleatorios.
Primero mostraré que la media cuadrática
del desplazamiento de un camino aleatorio
crece con la raíz cuadrada del tiempo transcurrido.
Después, discutiré el papel crucial de
la dimensión espacial de la cuestión fundamental
de si un camino aleatorio vuelve o no al punto inicial.
Una parte importante de este tutorial
está dedicado a determinar la
distribución de probabilidad subyacente
de un camino aleatorio.
También mostraré cómo se recupera
la ecuación de difusión como el límite continuo
de la ecuación evolutiva de la
función de distribución de probabilidad.
Un rasgo llamativo del camino aleatorio
es que su distribución de probabilidad a largo plazo
es independiente de casi todos los detalles microscópicos.
Esta universalidad está personificada
por el teorema del límite central,
que también presentaré.
Tambén discutiré los rasgos anómalos que surgen
cuando las condiciones que subyacen
al teorema del límite central no se cumplen.
Finalmente, presentaré algunas propiedades
básicas de los caminos aleatorios,
y acabaré presentando algunas
aplicaciones elementales e importantes.