Então o que Montroll fez
foi checar o valor desses dois valores esperados.
Ele checa o valor, em particular, da média,
esse aqui [], uma das duas restrições de máxima entropia,
e também vê o valor dessa restrição aqui [variância],
como ela muda com o tempo.
Então vejamos a média do log do preço.
Essa é a primeira coisa a restringir, porque lembrem,
é uma distribuição Gaussiana em x,
onde x = log(P),
logaritmo do preço.
Então essas são as duas quantidades
que são fixas,
para trabalharmos no espaço de preços, invés do espaço do log dos preços.
Então a primeira coisa que ele aponta é que o média do log dos preços
é uma função levemente crescente do tempo,
exceto por esses casos aqui.
Então isso é algo que é de se esperar:
com o tempo, a média do log do preço,
e, de fato, o preço médio também, irá aumentar,
e aumentará puramente por conta da inflação.
Um produto que custava um dólar há dez anos atrás
custaria, em geral, mais do que um dólar hoje.
Inflação é um processo multiplicativo.
Mas algo que ele destaca
é essa coluna aqui:
essa é a variância do log do preço ao longo do tempo,
vemos que, sobre a variância do log do preço
é que, em 75 anos do catálogo Sears-Roebuck --
e, destaque-se, duas guerras mundiais,
mudanças sociais enormes,
aqui estavam vendendo chicotes de charrete,
e aqui estão vendendo fitas cassete.
Mudanças econômicas enormes, então certamente os preços aumentaram em geral,
eles vão de 0.1 no espaço de log do preço, para 4.
Em outras palavras, preços aumentam por um fator de 2, 4, 8 -- um fator de 16.
A variância do log dos preços
mantém-se basicamente constante, num fator de aproximadamente 2.
Ou seja, o desvio...
do preço médio -- ou da média do log do preço,
o desvio quadrado da média do log do preço
é constante, ao redor de 2, ao longo de 75 anos.
E Montroll diz que isso merece uma explicação.
Isso aqui já entendemos, entendemos por que preços aumentam,
mas não entendemos por que sua variância se mantém constante.
Por que é que o catálogo Sears Roebuck —
cujas equipes que montaram o catálogo aqui
e aqui, sejam de grupos totalmente distintos —
por que é o caso de que eles sejam capazes,
ou que acabem fazendo com que a variância ficasse constante?
E uma das coisas que ele destaca é o seguinte:
que, digamos, em 1900,
o log do preço tinha certa distribuição
e uma certa variância, 𝜎.
Em 1975, se todos os produtos no catálogo Sears Roebuck [em 1900]
ainda estivessem em 1975,
e se todos eles inflacionarem na mesma taxa,
então ok, a média aumentaria.
Mas todos esses produtos, todas essas colunas aqui,
aumentariam pela mesma quantidade.
Então, se todos os preços P
se multiplicassem pelo mesmo fator 𝛼,
então, claro, todo log dos preços,
log P [P de preço]
simplesmente seria adicionado com log 𝛼.
Então esperaríamos que a variância se mantivesse constante,
nesse caso bem particular.
Caso contrário, permitindo uma deriva natural dos produtos,
e, em particular, permitindo taxas diferentes de inflação,
ou seja, permitindo que 𝛼 seja uma variável aleatória, como foi o caso
no caso do modelo multiplicativo de crescimento de linguagens,
quando 𝛼 vira uma variável aleatória, então, em geral,
o que acontecerá é que a variância aumentará,
porque alguns produtos vão multiplicativamente,
com o tempo, acumular aleatoriamente várias multiplicações bem altas:
vão ficar caros bem rápido,
algo como educação superior, aparentemente...
E outros produtos irão deflacionar, ficar mais baratos.
Então algo que vemos no catálogo Sears Roebuck
é que vestidos femininos ficaram mais baratos,
porque os materiais de sua confecção se tornaram sintéticos,
e ficamos melhores e melhores em fazer vestidos sintéticos.
Então há produtos que deflacionam rapidamente.
Outro tipo de produto que deflaciona rapidamente,
embora não fosse algo tão prevalente no catálogo Sears Roebuck no seu começo,
são computadores.
O custo de um dispositivo com o mesmo poder computacional
de algo de dez anos atrás é minúsculo,
comparado com seu preço naquela época, mesmo em termos absolutos.
Então há produtos que deflacionam enormemente,
produtos que inflacionam enormemente,
no grande esquema de cultura orgânica de consumo.
Porém...
o que vemos é que, nos dados, os desvios --
os desvios quadrados da média, no espaço log, ficam constantes.
Isso vai contra nossas expectativas,
e o problema agora é de explicá-lo.