En las 3 unidades previas, hemos cubierto,
primeramente, un recuento matemático
de cómo modelar el tiempo de llegada
de los taxis en Nueva York, y después
traté de generalizar y dar un sentido de
cómo los métodos de máxima entropía
se usan en el mundo real,
en particular, cómo se usan o se podrían usar
para describir el ecosistema de código abierto.
Lo hice como analogía de un grupo
de trabajo fundacional hecho por gente
en el estudio de ecosistemas.
Y mostré cómo, por ejemplo,
el modelo de máxima entropía podría estar
en tensión con un modelo mecanicista
más simple
y actualmente no tenemos la capacidad
de distinguir entre las dos
formas funcionales.
MaxEnt preduce una forma funcional.
La probabilidad acumulativa mecanicista, ¿Ok?
probabilidad acumulativa multiplicativa
de lenguaje disuasorio
tiene una forma funcional ligeramente diferente
y nos parece similar
para decidir ahora mismo.
En la próxima parte de la charla
o la próxima parte de la unidad,
voy a tratar de mostraros
otro tipo de argumento que se realiza
sobre los sistemas sociales y biológicos.
En este caso, por supuesto, un sistema social.
Y os voy a mostrar
cómo estos argumentos se pueden realizar
en un formato MaxEnt, y el tipo de conocimiento
que seríais capaces de derivar.
Así que esta es una historia que se centra
en una parte realmente interesante de
Americana, el catálogo Sears-Roebuck.
Así que la compañía Sears-Roebuck
inventó, al menos en Estados Unidos, la idea de vender
grandes cantidades de mercancías,
no directamente en el almacén, sino
mediante un catálogo impreso
que era distribuido por el país.
Así que, si fuérais granjeros en
el otoño de 1909, no teníais necesariamente
la posibilidad de ir a Chicago
a comprar las cosas que necesitais comprar
conseguir agujas e hilo
imperdibles y látigos,
y máquinas de afeitar Remington.
En su lugar, loque haríais es
consultar el catálogo de Sears-Roebuck & Co.
y podías ordenar, por correo,
todas las cosas que necesitabas,
y ésto revolucionó, por supuesto,
la forma de comprar,
una forma de Amazon Prime o
Amazon.com de
principios del siglo XX.
De hecho, el catálogo Sears & Roebuck
funcionó antes,
desde los años 1800, o finales de 1800,
continuamente hasta finales
del siglo XX, a finales del siglo XX.
Todavía puede existir hoy de alguna forma
comprar cosas por correo de un catálogo impreso
ha decaído en cierta medida.
Así que voy a hablar en particular
sobre un artículo que fue escrito en 1981 por
Elliott Montroll, llamado
"Sobre la Función de Entropía
en los Sistemas Socio-Técnicos"
y es interesante, en parte, porque
es una de las primeras veces que
alguien trató de construir un
argumento sobre sistemas sociales,
sobre sistemas vivos,
usando argumentos de Máxima Entropía.
Así que ésto es lo que Montroll hizo.
Montroll se fijó en los precios
de los productos en el
catálogoSears-Roebuck. ¿Ok?
Y, de hecho, tomó los datos de otra fuente.
Y lo que representó aquí fue año por año.
Ésto es 1916.
Ésto es 1924.
Ésto es 1974
Y lo que hace,
representa la distribución de precios,
la probabilidad de que un artículo
en el catálogo Sears
tenga algún coste c.
Ésto se representa en una escala logarítmica
Ésto es el logaritmo del precio,
y, de hecho, usa el logaritmo en base 2
y ésto varía de -6,
o sea 1/64,
hasta +6: 64$
en el caso de 1916,
Y representa la distribución de productos.
Aquí, por ejemplo,
hay una probabilidad del 60%
de obtener un producto del catálogo
Sears de 1916 al azar
que cueste aproximadamente Log en base 2 dólares
de 0, o en otras palabras,
cueste alrededor de 1$.
Así que, 60% de los artículos
del catálogo cuestan 1$
y podéis ver que en los extremos,
la distribución se extingue.
Hay muy pocos artículos que cuesten más
de 60$ y muy pocos que cuestan
del orden de céntimos.
Así que lo primero que nota
es que esta distribución parece
más o menos Gausiana, o normal.
Y si prestásteis atención a
la unidad previa, os dísteis cuenta
de que ésto es el logaritmo del precio.
De hecho, la distribución
de precios en el catálogo Sears
es log-normal.
En otras palabras, si tomáis
el logaritmo del precio
y mostrais la distribución,
tenéis una distribución gausiana.
Así que vamos a profundizar en
la distrubicón log-normal. ¿Ok?
Parece que P de x es proporcional a
e elevado a menos (x menos mu) al cuadrado
partido por 2 sigma al cuadrado.
LLamé a mu a la esperanza de x.
Mu es el promedio de la distribución.
Recordad la media.
Y sigma es algo a lo que
llamamos varianza.
Vamos a expandirlo un poco más.
Voy a escribir esto como
e elevado a menos x al cuadrado
partido por 2 sigma al cuadrado
más 2 mu partido por 2 sigma al cuadrado
menos mu al cuadrado partido por
2 sigma al cuadrado.
Lo que he hecho es expandir el término
x menos mu al cuadrado partido
por sigma al cuadrado.
Así que lo voy a reescribir como
e elevado a menos lambda-1 al cuadrado
más lamba-2 x más lambda-3.
Y cuando lo escribo de esta forma
os dais cuenta de que la distribución log-normal
es justo la distribución de máxima entropía
si restringimos por dos cosas.
Uno: restringimos x al cuadrado.
Y el otro: restringimos x.
y por supuesto, restringir por ambos
es equivalente a
restringir por la varianza, que es
x menos la esperanza del valor de x al cuadrado
y la media.
Restringir ésto es
equivalente a restringir estos dos.
Y, por supuesto, podéis expandir ésto.
Y fijando ésto y ésto
a un grupo de valores
es lo mismo que fijar ésto a un valor
y ésto a otro valor.
Así que la distribución log-normal es,
en secreto, y ha sido secretamente
junto con ella,
otra distribución MaxEnt.
Una vez lo escribís así,
y os dais cuenta que estos tipos de
constantes... aquí y aquí,
estas constantes son realmente
multiplicadores de Lagrange
que la gente resuelve para encontrar la respuesta.
Os dais cuenta que la distribución log-normal
restringe estas dos cantidades.