Então, temos duas equações.
Uma nos diz a relação
entre os multiplicadores de Lagrange
Em particular, nos diz que Z é uma função de 𝜆₁.
E a segunda equação, duas equações, duas incógnitas,
nos permite encontrar 𝜆₁.
Então Z está na forma de uma série infinita,
mas se você lembra de séries geométricas,
você, na verdade, consegue resolvê-la, porque isso,
escrevendo os primeiros termos só para dar uma intuição,
ficam 1 + exp(-𝜆₁) + exp(-2 𝜆₁)
e por aí vai.
E sabemos que a série geométrica dessa forma,
por um belo argumento que não faremos aqui,
resulta em 1 / 1-exp(-𝜆₁).
Então já sabemos como reduzir esta soma infinita
a uma forma bem elegante.
A próxima coisa que vou destacar,
porque sou um ex-físico,
eu sempre vou acabar escorregando nisso:
gostamos de chamar Z de "função partição".
Ok? Z é a soma sobre estes termos aqui.
E uma coisa a notar sobre Z, a função partição,
é que se tomarmos a derivada de Z sobre i,
o que acontece?
A derivada de Z -- perdão, sobre 𝜆₁--,
derivada de Z sobre 𝜆₁,
temos o seguinte:
Bom, temos um sinal negativo,
e temos a soma.
E agora o que temos é um termo i que tombou.
Então, de repente, temos a mesma soma infinita
que temos na outra equação.
Não podemos resolver imediatamente, pelo truque de séries geométricas,
porque, invés de ser 1 + p + p² + p³ + ...,
agora temos estes fatores na frente deles [dos p's].
Mas note que, se tomamos a derivada da função partição,
derrubamos o fator de i.
Então, de fato, podemos reescrever
a segunda equação de restrição aqui
como -1/Z dZ/d 𝜆₁= 4 [vide vídeo].
Então, a primeira coisa que fazemos é tomar a derivada de Z sobre 𝜆₁
e dividir por Z.
E podemos fazê-lo facilmente.
Temos um fator de exp(-𝜆₁) no numerador,
[sobre] (1-exp(-𝜆₁))².
Essa é a derivada de Z com relação a 𝜆₁,
sinal negativo.
E um fator de 1/Z, que remove um destes aqui.
Então Z = 1 / 1-exp(-𝜆₁).
Se dividimos por isso, cancelamos um destes aqui.
E agora, transformamos esta equação,
que seria difícil de resolver, por ser uma série infinita,
e colocar uma série infinita no MatLab leva muito tempo para resolver.
Invés disso, temos uma forma analítica,
uma forma funcional para resolver diretamente.
Agora, tudo que precisamos fazer
é resolver esta equação aqui.
Encontrar 𝜆₁ que faça
tudo isso ficar igual a 4.
Feito isso, substituimos de volta em Z.
E sabendo Z e 𝜆₁,
recuperamos não só a forma funcional
da probabilidade de esperar por x,
mas também poderemos computar o tempo de espera em função de x --
a probabilidade de tempo de espera por um valor particular [de x].
Então resta esta equação aqui,
e, invés de resolvê-la exatamente,
porque temos uns logaritmos,
posso te dar a resposta que
𝜆₁ é igual a aproximadamente 0.22.
E daí, podemos computar o valor de Z,
e podemos agora podemos escrever a proporcionalidade.
[P(x) proporcional a exp(-0.22x)]
Então esta distribuição aqui,
com uma normalização adequada, [ignorar fator escrito na lousa]
será uma distribuição exponencial,
é uma distribuição exponencial,
linear no tempo de espera x.
E o que mostrei é que esta distribuição tem as seguintes propriedades, certo?
Ela satisfaz a restrição linear.
Ela é normalizada.
E ela tem a máxima entropia
dentre todas as distribuições com as propriedades prévias.