Así que tenemos 2 ecuaciones, ¿ok?
Una ecuación nos dice la relación
entre los 2 multiplicadores de Lagrange.
En particular, nos dice que Z
es una función de lambda-1
¿Ok?
Y esta segunda ecuación
(2 ecuaciones, 2 incógnitas)
nos permitirá resolver el mismo lambda-1.
Así que Z aquí tiene la forma de una suma infinita.
Pero si recordáis cómo funcionan las series geométricas
podéis escribir ésto,
porque ésto, el primer par de términos,
sólo para dirigir vuestra intuición,
es 1 más e elevado a menos lambda-1
más e elevado a menos 2 lambda-1
y así sucesivamente.
Y así, sabemos que
las series geométricas de esta forma,
por un buen argumento que no haremos aquí,
suman 1 partido por
uno menos e elevado a menos lambda-1.
Así que sabemos cómo reducir esta
suma infinita de una forma muy elegante.
La siguiente cosa a señalar, porque
soy un experto en sistemas
...
finalmente...
Nos gusta llamar a Z la función de partición.
¿Ok? Esta Z es la suma de estos términos
Y una cosa que notáis sobre Z,
sobre la función de partición, es que
si tomáis la derivada de Z respecto a i
¿qué es lo que pasa?
La derivada de Z - perdón - con respecto a lambda-1.
La derivada de Z respecto a lambda-1.
Lo que pasa es lo siguiente:
Tenemos un signo negativo
y la suma. Y ahora lo que hacemos
es sacar un factor i.
Y ahora, de repente, teneis
la misma suma infinita que aparece en la otra ecuación.
Esta suma no se puede hacer inmediatamente
con el truco de las series geométricas
porque en lugar de tener 1 más p
más p al cuadrado más p a la cuarta...
más p al cubo, etcétera,
ahora tenemos estos términos raros
colgando. Pero daros cuenta de que
si tomamos la derivada de la función de partición,
sacamos este factor de i.
Así que, de hecho, podemos reescribir
esta segunda ecuación de restricción
como 1 partido por Z, menos, por dZ partido por d lambda-1
igual a 4.
Así que lo primero que tenéis que hacer
es tomar la derivada de Z respecto a lambda-1
y entonces tenemos que dividir por Z.
Y así, lo podemos hacer fácilmente.
Tenemos un factor de e elevado a
menos lambda-1 arriba, 1 menos e
elevado a menos lambda-1, al cuadrado,
que es la derivada de Z respecto a lambda-1
(signo menos).
Y ahora tenemos un factor de 1 partido por Z,
y ésto elimina uno de éstos.
Así que Z es 1 partido por 1 menos e elevado a menos lambda-1. ¿Ok?
Y si divimos por ésto...
perdemos uno de ésto.
Y ahora, hemos convertido esta ecuación,
que es difícil de resolver, porque es una suma infinita,
y poniendo una suma infinita en Matlab
tiende a llevar largo tiempo de resolución
Pero en su lugar, tenemos una forma analítica,
una forma funcional que podemos
utilizar inmediatamente. ¿Ok? Así que,
lo que tenemos que hacer es resolver esta ecuación.
Encontrar el valor de lambda-1
que hace este término igual a 4.
Una vez que encontramos este valor de lambda-1,
lo introducimos aquí en Z, ¿Ok?
Y una vez que conocemos Z y lambda-1
podemos recuperar no sólo la forma funcional
de la probabilidad de esperar un tiempo x,
sino que seremos capaces de calcular
el tiempo de espera en función de x. ¿Ok?
La probabilidad del tiempo de espera para un valor particular.
Así que tenemos esta ecuación,
y en lugar de resolverla exactamente,
porque tenemos varios logaritmos,
os puedo decir la respuesta, que
lambda-1 vale aproximadamente 0.22.
Y de aquí también podemos calcular el valor de Z,
y ahora podemos escribir la proporcionalidad
en términos generales.
Así que esta distribución,
con la normalización apropiada,
será la distribución exponencial,
es una distribución exponencial,
lineal en el tiempo de espera x.
Y lo que es he mostrado, es que esta distribución tiene
las siguientes propiedades, ¿Ok?
Satisface esta restricción lineal. Está normalizada. ¿Ok?
Y tiene la máxima entropía
de todas las distribuciones con
estas dos propiedades previas,