ها هنا نظرة عامة لطريقة أويلر
لحل المعادلات التفاضلية بهذا الشكل.
المشتق لدالة لـ X هي دالة لـ X،
ونفترض أننا نعرف قيمة البداية لهذه الدالة لـ X،
هذه الدالة يمكن أن تكون درجة الحرارة، يمكن أن تكون الموضع يمكن أن تكون أي شيء.
إذاً، كبداية نحتاج أن نختار مقدار الخطوة،
هذا خيار يُتاح لنا اختياره، ونبدأ عند الزمن t تساوي 0،
حيث نعرف قيمة X.
إذاً، ثم باستخدام القيمة الحالية لـ X،
المعادلة التفاضلية المعرفة بهذه الدالة،
تخبرنا معدل التغيير.
إذاً، نعرف مدى سرعة تغير X.
ثم نستخدم معدل التغيير هذا
لنحدد القيمة التالية لـ X،
هذه القيمة الحالية لـ X،
هذا مقدار تغيّر X، في الفاصل الزمني دلتا t.
هذه خدعة نوعاً ما
نحن نتظاهر أنّ معدل التغيير ثابت
للفاصل الزمني دلتا t، ونستطيع أن نستخدم هذا
لنكتشف القيمة التالية لـ X،
ثمّ، نزيد t بواسطة دلتا t
ونعود لهذه الخطوة، ونكتشف المشتق مجدداً.
المشتق يخبرنا كيف نتقدم قليلاً في الزمن
لنكتشف X التالية، ثم نُحدّث الزمن، نكتشف المشتق مجدداً،
نتقدم لنكتشف X.
إذاً 2 و 3 هذه هي الخطوات الرئيسية هنا،
نحن نتنقل باستمرار ذهاباً وإياباً،
الدالة التي تعرف المعادلة التفاضلية تخبرنا المشتق،
هنا نستخدم المشتق لنكتشف قيمة X،
ومن ثمّ نعود، X تعطينا المشتق من المعادلة التفاضلية،
نستخدم المشتق لنكتشف X، وهكذا.
إذاً، أحدٌ ما يكرر طوال هذه العمليات
حتى تحصل على حل مقبول إلى حدٍّ ما.
إذاً، في التطبيق العملي نختار دلتا t أصغر فأصغر
حتى يتوقف منحني الحل عن التغير.
إذاً، إن اخترت دلتا t مساوية 2، وثمّ 1، وثمّ 0.01، و 0.001،
القيام بهذا على الحاسوب أو على جدول،
وأخيراً سنرى أنّ جدول القيم، إن رسمناهم بيانياً،
قيم الـ X ستتوقف عن التغير، وهذا سيكون بمثابة إشارة
أنّ دلتا t كانت صغيرة بما يكفي.
إذاً، هذه هي طريقة أويلر باختصار.
تصل لقلب ما تعنيه المعادلات التفاضلية،
معدل التغيير مُعطى من قبل المقدار X،
نستخدم هذا معدل التغيير هذا لنكتشف X،
إذاً، مجدداً إنّنا نفكر بهذا كنظام ديناميكي،
إنّها قاعدة تحدد كيف يتغير X،
القاعدة مكتوبة بمصطلحات المشتق،
معدل تغيير X، بدلاً من X مباشرةً،
لكن، ليست مشكلة، طريقة أويلر، أو أشياء مثلها،
تدعنا نحوّل من معدلات التغيير للدالة ذاتها.