再看一个微分方程定性理论的例子

x的导数表示x的改变量

这次我们不写x的公式

我们画一个蓝色的曲线图

不同的值有不同的导数

记住微分方程就是

随时间改变的一个数学系统

就是这个图

如果小于2，规则是要增加

蓝色曲线在轴上面， 在增加

2到6之间，要减少， 因为导数是负的

比6大 要增加，导数是正的

蓝色曲线在轴上方

可以画出相线

两个平衡点

2和6 我们有一个固定点 导数是0的时候

这是 我们得到2和6

2和6之间 蓝色曲线在轴下方

递减趋向2

在2下方 要增加

在6上方 要增加

我们有2个不同的固定点

这个是稳定的吸引子 6 这个是不稳定的

我们可以画个草图

先画轴

这是轴

这是时间

2是吸引子 我们从2下面开始

迅速增加 光滑地逼近2

如果这里是初始值 你可以这样

逼近2

2和6之间 递减

从比6小的点开始 -6是平衡点

比6小 导数是负的 会减少

相当快 然后再减慢

所有这些曲线 逼近2

我们可以得到固定点 6

平衡点是不稳定的 看上去很乱这里

画得有些乱了

这些紫色的曲线 含有一样的信息 就是相线

我们可以得到稳定点2

许多不同的轨道拉到这里

小于6的都拉到这里了

大于6的开始 会推远

微分方程就是一个规则

告诉我们函数值的改变率

我们可以很快知道函数的变化

向右 如果是正的 向左 如果是负的

我们可以得到固定点

画出这些解

让我们最后看下紫色曲线间的关系

这些相线

在边上改变 指向上面

固定点6 固定点2

6和2之间 向上 看这里

如果在边上画相线 它告诉你方向 紫色的解曲线

紫色的解曲线趋向2，向下趋向2

向上远离6 向上趋向2

在开始下一节前 我希望你们做点练习

这给了你们一个机会来熟悉这些技巧