Нека направим още един пример, илюстриращ качествения подход към диференциални уравнения Ето го примерът - производната на X, скоростта на промяна на X, е функция на X и дори няма да записвам формулата на X, само ще покажа графиката на f(X) - синята крива Различните стойностти на X, имат различни стойностти на производната Запомнете, че динамичната система е просто математическа система, която се променя във времето според определено правило този чертеж представлява това правило, Казва, че ако си под 2, правилото е че трябва да се повиши - производната ви е положителна Ако производната е положителна, синята крива е над оста, главно X нараства между 2 и 6, X намалява - синята крива е отрицателна, производната е отрицателна и повече от 6, X отново нараства - защото производната е положителна синята крива е над x-оста Можем да нарисуваме фазова линия за това диференциално уравнение Има два еквилибриума, или фиксирани точки в 2 и 6 - за диференциалното уравнение имаме фиксирана точка, когато производната е 0 защото, когато производната е 0, функцията не се променя, това става при 2 и 6 Между 2 и 6, производната е отрицателна - синята крива е под оста, количеството X намалява към 2 под 2 - там е положително, значи нарастваме над 6 - положително отново, значи нарастваме Имаме две различни фиксирани точки тази е стабилна или атрактор, 6 е нестабилна или репелър. Можем да скицираме и решения на това диференциално уравнение. Да започнем с осите... Ето някакви оси... това е времето - мерните единици са произволни - слагаме нещо и да видим - 2 е привличаща фиксирана точка. Ако започнем под 2 ще се увеличава бързо, а след това плавно ще приближава 2 ако имате начално състояние тук долу, ще направите нещо такова трябва да приближава 2 Ако съм някъде между 2 и 6, ще намаляваме докато стигнем 2 Нека започнем малко под 6, 6 е точка на еквилибриум, стабилна точка но ако съм малко под 6, производната ми е отрицателна, т.е. намаляваме първо бавно, после по-интензивно, и после пак бавно и всички тези криви - става малко объркано, но доближаваме тази фиксирана точка в 2 Мога да начертая еквилибриума, с прекъсната линия, и имаме еквилибриум в 6 и точката на еквилибриум тук е нестабилна - обърква ми фигурата точките тук се отблъскват, а тези, да нарисуваме по-добре, свързвайки двете Кривите на решенията в лилаво, съдържат същата информация, като тази фазова линия виждаме, че има стабилна фиксирана точка в 2, и е привличаща. и различни орбити и решения се струпват тук всичко между - всичко под 6 всъщност идва тук и ако започнем малко над 6, се отблъскваме Започваме с диференциално уравнение - то е правило за това как X се променя - определя производната за всяко X и от това можем бързо да видим накъде се движат нещата отиват надясно когато това е положително, наляво когато е отрицателно така можем да получим фиксираните точки и да видим веднага стабилността тогава можем да вземем този чертеж и да скицираме някои решения. Нека направим още едно за илюстрация на зависимостта между лилавите криви решенията, и това, фазовата линия. Взимам фазовата линия и я обръщам настрани, сочи нагоре вместо настрани Ето я фазовата линия, фиксирана точка в 6, фиксирана точка в 2 точки между 6 и 2 отиват към 2, под 2 се качват до 2... а тук се отдалечават така. Ако обърнем фазовата линия настрани ни казва посоката в която отиват лилавите криви с решения тук лилавите криви на решенията отиват надолу към 2. тук се качват нагоре далеч от 6, тук се покачват до 2 Преди да преминете на следващия под-модул, предлагам да упражните тези идеи на викторините Ще ви дадът шанс да се запознаете по-добре с тези техники и да видите как се ползват.