我们可以用图来表示 微分方程的一般解 这是牛顿的冷却定律 说了导数 温度的改变 作为温度的函数 看右边 和我以前讲过的一样 显示了改变速率,温度每分钟的改变 依赖于温度,这是相线 20是稳定的不动点 可以画出来 解是T 相线和递归函数很相似 和时间序列图很类似 我把轴画出来 水平轴 表示时间 温度轴 用紫色表示点 初始值是5 从这里开始 到达20 增加速率很快 因为函数值很大 速率很大 当逼近20时 速率变小 曲线看上去可能象这样 逼近稳定的不动点20 一开始变热很快 然后逼近20的时候 变慢 我们也有别的解 比如用别的饮料 45度 然后让它冷却 温度下降很快 像这样 这个是定性的图 下面一节我将告诉大家确切函数形式 我们可以得到很多信息 这称之为定性分析 我在右边画个草图 函数增加 递减 导数变正 递减 导数变负 画出一条相线 从相线可以得到一般的解 这给我们一些几何和一些常识 对于微分方程已经足够