Накрая, можем да използваме тези графики, за да очертаем

общата форма на решенията на диференциално уравнение.

Ето го диферециалното уравнение: Закона на Нютон за охлаждане

той определя производната - как температурата се променя,

като функция на температурата, и ето чертеж на дясната част,

същото нещо като преди, което показва как скоростта на промяна

в градуса по Целзий в минута,

зависи от температурата и това е фазовата линия

имаме стабилна, привличаща фиксирана точка при 20,

можем да използваме това да скицираме решенията T(t)

Тази фазова линия е сходна на фазовата линия за итерираните функции

ще скицирам някои решения, сходни на чертеж на времеви серии за итерирани функции

Рисуваме осите... ето ги и тях

на хоризонталната имаме време - t в минути,

а това е температурата - градуси в Целзий,

Нека направим тази точка в лилаво

ако стартовата ми стойност е 5, започваме някъде тук

Ще увеличавам, докато стигна 20 - знам че в началото скоростта на повижаване ще е висока

защото тази функция има голяма стойност - скоростта на охлаждане е много голяма

скоростта на охлаждане намалява, докато наближавам 20

Не знам точните детайли, но знам че кривата изглежда подобно:

Ще наближавам стабилната фиксирана точка 20

и в началото ще загрявам много бързо - стойността на функцията е голяма

след това скоростта на затопляне намаля щом наближавам 20.

Да видим друго решение - започваме с друга напитка

на 45 градуса, например - тогава ще се охлажда много бързо

това е много голямо и отрицателно, затова ще губя температура много бързо,

и това ще изглежда долу-горе така.

От тази качествена графика не мога да получа точната функционална форма,

или точното време на това - ще ви покажа как се прави в следващата лекция

но получаваме много информация.

Това се нарича качествен анализ на диференциално уравнение,

скицираме лявата и дясната страна, и ивиждаме къде функцията нараства

и къде намалява, нараства където производната е положителна,

намалява където производната е отрицателна.

От там можем да нарисуваме фазова линия,

а от нея можем да скицираме генералната форма на решенията.

Мисля, че е доста информация само от малко геометрия и здрав разум

и често това ще ни бъде достатъчно за анализ на диференциално уравнение.