Нека дефинираме производната

малко по-формално

Връщайки се към примера, с който започнахме,

средна скорост, от време 1 до време 2

е пътят изминат за този интервал от време,

разделен на самият интервал.

Затова казваме, нека t2,

второто време, се приближава до t1,

това е еквивалентно до твърдението

ако имаме предвид средна скорост

промяна в позицията, върху промяна във времето

нека интервалът от време, делта t, се приближава все повече до 0

като нотация:

делта s върху делта t

Приближавам делта t все по-близо до 0

Не мога просто да сложа 0, защото ще е деление на 0,

но мога да го приближавам все повече до 0

и да наблюдавам какво число се получава,

какво става с това съотношение,

и резултатът е моментната скорост,

а нотацията за това често е: ds върху dt,

вместо тези триъгълници - делти, които означават голяма промяна,

използваме малките d-та, които означават моментна промяна.

Малко по-общо

нека помислим за производната на x

тук x може да е произволна функция, която се променя,

може да е позиция, температура, население,

тя е просто обща функция, която се променя,

не е нужно да е точно позиция,

и може да попитаме: Как се променя моментно?

Производната на x, dx/dt,

е моментната скорост на промяна на x

това е основното, което трябва да знаете от този под-модул:

производната е моментната скорост на промяна.

Нека запиша още няколко начина да си го представите -

това е наклона на x при t. x(t) може да е крива

но няма проблем - видяхме в предишното видео

как да мислим за наклон на криви,

а за тези от вас, които са изучавали диференциално смятане,

ето формалната дефиниция:

това е лимита при h клонящо към 0

x от t плюс h, минус x от t върху h,

което аз си представям като:

промяна в x, върху промяна в t,

в лимита си, тези промени стават много, много мали

Отново, производната е:

моментната скорост на промяна на x

казва ни колко бързо x се променя

и може да получим различни стойности, в зависимост от времето

което позволява функция x да нараства

с различни скорости в различни моменти.

Последно, малко нотация:

тази идея за производна

често се

изобразява по този начин: чете се x-прим.

Във физиката и инжинерните науки

често се използва тази нотация: x-точка,

което означава времева производна.

В този курс ще използвам основно първата нотация.

Може инцидентно да използвам и този

Няма да използвам този въобще, но е вероятно да видите това

в други текстове или трудове, особено ако са от

физика или инжинерни науки.