Нека да генерализирам идеята за средна скорост Средната скорост от време 1 (t1) до време 2 (t2) някакъв интервал от пътуването ви е просто изминатият път през този интервал от време 1 (t1) до време 2 (t2), разделено на изминалото време, крайното време минус началното време (t2-t1) Това е разстояние разделено на време И това разстояние е колко далеч сте стигнали през това време Проблемът е, че все още не сме отговорили на въпроса: Колко бързо сте се движили в точно 10 минути след началото на пътуването? Въпросът е, колко бързо сте се движили точно 10 минути след началото на пътуването. Не каква е средната ви скорост между 9 и 11? В точно t=10, каква е скоростта? Знаем как да изчислим скоростта, използвайки тази формула Но тази формула изисква две времена, ни е дадено само едно Та, това е в някакъв интервал от t1 до t2, но искам да знам времето в точно 10. Ситуацията е заплетена, но диференциалното смятане и тази идея за производна, ще ни помогнат с разплитането. Ето как: Взимаме времеви интервал може би от t=10 до t=11 и изчисляваме средната скорост за това И може да кажем, че скоростта в точно t=10 това е средната скорост от t=10 до t=11 Но може да възразите и да кажете "това не е вярно, защото скоростта може да се промени. Може би ускоряваме или забавяме много минавайки от минута 10 в минута 11. Така че това не е скоростта в точно t=10, тя може да се променя и това не е точен метод за определянето й." Това е разумно възражение, всъщност. Ето един начин да се справим с него. Може да кажете, да, прав си, за това че скоростта може да се променя от 10 до 11, а ако врема по-малък интервал? Ще взема от 10 до 10.1 Това е само 1 десета от минута Със сигурност скоростта не се променя много Така че средната скорост е добро предположение за скоростта в точно t=10 Отново може да възразите: "Откъде знаеш? Може би ускоряваш или забавяш твърде много, може да си стрял за момент тук така че средната скорост не е добър пример, не е добро приближение към точната скорост" ОК, отново разумно възражение. Може би мога да пробвам това Мога да изчисля средната скорост от t=10 до t=10.01 И отново може да възразите "Това е наистина малък интервал но скоростта може да се променя в него, така че не е добро приближение или репрезентация на скорростта в този точен момент." И отново реагирам на това възражение и може да продължим да спорим отново и отново взимайки все по-малки и по-малки интервали от време. Така че развръзката на ситуацията (изглежда можем да играем тази игра завинаги) е да се съгласим, че ако дясната страна се приближава все повече до нещо, то тогава това е скоростта точно в t=10