Υπάρχει μια ακομη πλευρά των επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων

που θα ήθελα να αναφέρω σύντομα, ή να σας υπενθυμίσω

και αυτή είναι ότι ο χρόνος είναι διακριτός σε αυτές τις επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις.

Επομένως ξεκινάμε με την φύτρα: x(0) = 2.

Μπορούμε να την σκεφτούμε ας την τιμή στη χρονική στιγμή μηδέν.

Επομένως, εδώ, είναι η πρώτη επανάληψη,

θα μπορούσε να είναι η τιμή την χρονική στιγμή 1, και αυτή είναι 4,

η τιμή την χρονική στιγμή 2, ή η δεύτερη επανάληψη είναι 5.

κ.λπ., κ.λπ.

Όπως κάναμε και νωρίτερα,

μπορούμε να σχεδιάσουμε την συνάρτηση σε ένα γράφημα χρονοσειράς.

Εδώ είναι το γράφημα χρονοσειράς

για τις πρώτες 4 ή 5 επαναλήψεις αυτής της συνάρτησης: 2,4,5

και βλέπουμε ότι η τιμή αρχίζει απότο 2,

πηγαίνει στο 4, πηγαίνει στο 5, όπως ακριβώς περιμέναμε.

Συνήθως, σχεδιάζουμε μια γραμμή που ενώνει τις τελείες,

μόνο και μόνο επειδή κάνει το γράφημα να δείχνει καλύτερο.

Είναι πιο εύκολο να διαβαστεί,

αλλά αυτή η γραμμή δεν θα πρέπει να θεωρείται μέρος της συνάρτησης.

Η τιμή πηδάει από το 2 στο 4.

Δεν κυλάει μεταξύ των τιμών 2 και 4.

οπότε υπάρχει μια τιμή εδώ, μια άλλη τιμή εδώ,

και πηδάει από τιμή σε τιμή

Δεν χρειάζεται να πάει ανάμεσα,

δεν χρειάζεται να περάσει από αυτές

τις ενδιάμεσες τιμές.

Μπορούμε να σχεδιάσουμε μια γραμμή φάσης,

οπότε προκύπτει ότι αυτή η συνάρτηση

έχει ένα μονό σταθερό σημείο ισορροπίας στο 6.

Οπότε σχεδιάζουμε τα βέλη προς

την κατέυθυνση του 6

και αν κοιτάξουμε αυτή την φασική γραμμή

θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι ένα σημείο θα ξεκινούσε εδώ,

και πολύ απλά θα κυλούσε δεξιά προς το 6.

Αλλά στην πραγματικότητα πηδάει από το 2, στο 4, στο 5, κ.λπ.

Οπότε κάποιος θα έπρεπε να την σχεδιάσει κάπως έτσι:

εδώ είναι το πρώτο "πήδημα", το δεύτερο "πήδημα",

το επόμενο "πήδημα", κ.λπ.

Συμβατικά, κάποιος δεν τηνσχεδιάζει με αυτό τον τρόπο, αλλά αυτό θα μπορούσε στην πραγματικότητα να είναι μια καλύτερη εικόνα.

Οπότε, ξανά, για να το τονίσω: σε αυτές τις επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις,

ο αριθμός πηδάει από την μία τιμή στην επόμενη,

και δεν χρειάζεται να περάσει από τις ενδιάμεσες τιμές.

Οι διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες είναι το βασικό θέμα αυτής της ενότητας,

είναι διαφορετικές, με την έννοια ότι αναλύουν μια κατάσταση,

όπου μια μεταβλητή αλλάζει συνεχόμενα.

Χρησιμοποιώντας για παράδειγμα τη θερμοκρασία μιας κούπας καφέ:

αν η θερμοκρασία ξεκινάει από τους 40 βαθμούς, και λίγο αργότερα είναι στους 30 βαθμούς,

μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι δεν πήδηξε στιγμιαία από το 40 στο 30,

αλλά θα πρέπει να πέρασε από όλες τις πιθανές θερμοκρασίες ανάμεσα στο 40 και το 30.

Επομένως, οι διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν συνεχόμενα μεταβλητά φαινόμενα,

και οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται διακριτά (δηλαδή οι τιμές "πηδούν" από τη μια στην άλλη).

Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένας κλάδος των μαθηματικών

που συνήθως περιγράφεται με χρήση της έννοιας του λογισμού.

Ωστόσο, σε αυτό το μάθημα, θα εισάγω τις διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο απαραίτητο λογισμό,

δηλάδη σχεδόν καθόλου.

Πιστέυω ότι αυτός ο τρόπος εισαγωγής στις διαφορικές εξισώσεις

τις καθιστά πιο εύκολα αντιληπτές

και δείχνει τι ακριβώς σημαίνουν.

Οπότε αν δεν έχετε μάθει ποτέ για τον λογισμό, μην ανησυχείτε.

Στις επόμενες υποενότητες,

θα χρησιμοποιήσω ορισμένες μόνο ιδέες και έννοιες από τον λογισμό

και θα τις εξηγήσω στην πορεία.

Ακόμη και άν έχετε μάθει για τις διαφορικές εξισώσεις στο παρελθόν,

θεωρώ ότι θα υπάρχουν αρκετά νέα πράγματα για εσάς σε αυτή την ενότητα.

Οι τεχνικές που θα παρουσιάσω,

είναι πολύ πιθανό να μην τις έχετε ξαναδεί σε ένα εισαγωγικό μάθημα στις διαφορικές εξισώσεις,

ιδιαίτερα αν αυτό είχε διδαχθεί με τον παραδοσιακό τρόπο.

Επομένως, στις επόμενες υποενότητες θα εισάγω τις διαφορικές εξισώσεις

και θα σας δείξω πληθώρα τρόπων

για το πως να τις λύσετε και, πιο σημαντικά,

τι ακριβώς σημάινουν αυτές οι λύσεις.

Θα ξεκινήσουμε στην επόμενη υποενότητα, όπου θα παρουσιάσω την ιδέα της παραγώγου.