Τώρα, για να βρούμε μια τροχία,
δε μπορώ να πώ ας βρούμε την τροχία αυτής της συνάρτησης,
πρέπει να σας δώσω μια αρχική τιμή.
Οπότε, μπορώ να κάνω κάτι σαν αυτό:
να μια φύτρα, να μια συνάρτηση
και θα μπορούσα να πώ: "Βρείτε την τροχιά"
και αυτό θα ήταν μια αρκετά σαφής εργασία.
Μπορεί να χρειαστείτε έναν υπολογιστή τσέπης
για να υπολογίσετε αυτούς τους αριθμούς
αλλά απλά θα ακολουθήσετε τον κανόνα ξανά και ξανά.
Αυτή η εξίσωση σας λέει πώς να βρείτε την τροχιά.
Οπότε, αν σας έδινα αυτή την εργασία:
Αυτή είναι η εξίσωση. Αυτή είναι η φύτρα. Βρείτε την τροχιά.
Θα ήσασταν βέβαιοι οτι αυτή η εργασία είναι εφικτή.
Δεν υπάρχει κάποιος πραγματικός τρόπος που αυτό θα αποτύγχανε
ή που η ερώτηση θα ήταν κακώς ή ασθενώς τοποθετημένη
και έτσι, στα μαθηματικά, θα λέγαμε πως η λύση,
σε αυτή τη περίπτωση, εννοώ η λύση στην ερώτηση "Βρείτε την τροχιά"
θα έλεγα πως η λύση υφίσταται.
Οπότε, για να το γράψω αυτό.
Αν το πρόβλημα που σας έδωσα
ήταν να βρείτε την τροχιά,
δεδομένου αυτού και αυτού,
ξέρουμε οτι η λύση υπάρχει.
Δεν υφίσταται κάποια αμφισημία,
δεν υπάρχει τρόπος αυτή η διεργασία να αποτύχει.
Άρα, η λύση εγγυημένα υπάρχει.
Επιπλέον, υπάρχει μόνο μία πιθανή λύση σε αυτό.
Αν βρω την τροχιά 2, 4, 5 και ούτω καθεξής,
μπορώ να συνεχίζω να το εφαρμόζω.
Οποιοσδήποτε άλλος θα βρεί την ίδια τροχιά.
Ο Darren, στο τέλος του διαδρόμου, θα βρεί την ίδια τροχιά.
Ο Oscar στη Δομινικανή Δημοκρατία, ο Cedric στη Γαλλιά,
όλοι μας θα βρούμε την ίδια τροχιά.
Ένας άλλος τρόπος να το πούμε αυτό είναι, ότι,
άν κάποιος άλλος βρεί μια τροχιά
δεν χρειάζεται να ψάξω για άλλες,
επειδή ξέρω οτι υπάρχει μόνο μια πιθανή απάντηση σε αυτό.
Έτσι, στα μαθηματικά, θα λέγαμε οτι η λύση είναι μοναδική.
Θα λέγαμε λοιπόν οτι η λύση είναι μοναδική
και αυτές οι δύο προτάσεις μαζί είναι ισοδύναμες με το παρακάτω:
Υπάρχει μία και μόνο μία λύση σε αυτό το πρόβλημα.
Ως πρόβλημα εδώ εννοούμε το να βρούμε
την τροχιά αυτής της επαναληπτικής συνάρτησης
Ελπίζω, για αυτό το παράδειγμα επαναληπτικής συνάρτησης,
αυτή η δήλωση να μοιάζει τόσο προφανής που να είναι σχεδόν περιττή
αλλά, όταν εξετάζουμε διαφορικές εξισώσεις,
η ύπαρξη και μοναδικότητα μπορεί να είναι λιγό περισσότερο δυσδιάκριτες
οπότε πιστεύω είναι καλό να δούμε την έννοια της ύπαρξης και μοναδικότητας
πρώτα σε αυτό το πιο απλό πλαίσιο