إذاً، الصورة التي تنشأ
هي بتلك البساطة، القواعد المكررة
قادرة على إنتاج
كُسيريات مثيرة للإهتمام
ومعقدة بشكلٍ مفاجئ.
خذ خط، استبدله
بخط منحني.
خذ هؤلاء الخطوط،
استبدلهم
بخطوط منحنية
وهكذا،
ويمكنك إنتاج
مجموعة واسعة جداً
من الكُسيريات.
في الوحدة الفرعية التالية،
سنبدأ التجريب
بواسطة وضع العشوائية
في قواعد توليد الكُسيريات هذه.
لكن قبل أن أفعل ذلك،
أريد أن أقول
المزيد قليلاً عن
العمليات التي كان الحاسوب
يقوم بها لنا.
لحد الآن، لقد كنت أصف
عمليات صنع الكُسيريات هذه
بمصطلحات نوعية.
خذ خط، احنيه هكذا،
قم بهذا مرة بعد مرة.
لكن عند نقطة معينة،
نحتاج أن نجعل هذا رسمياً
قليلاً لكي نستطيع
كتابة ما
نفعله حقاً
ونقوم بالرياضيات تبعاً لها وقد
نثبت بعض النتائج
في تجربة.
أو، نحتاج أن نأتي
بطريقة ما
لنرشد الحاسوب
ليقوم بهذا العمل لنا.
في كلتا الحالتين، يتطلب هذا
المزيد قليلاً من التشكيل.
الآن هناك طريقتين
مترابطتين حيث هذا التشكيل
غالباً منجز.
إحداهما تدعى أنظمة التابع التكراري
والطريقة الأخرى هي أنظمة L
أو أنظمة Lindenmayer.
وفي ما يتبع،
أريد أن أقول القليل
عن كلًَّ منهما.
لن
ندخل في
أي منهما
بأي تفصيل. إنّهم ليسوا
جزء أساسي
من الدورة.
لكن أريد أن أقدّمهم
لكي تعرف
ما هم ، لأنّك إذا
قرأت المزيد عن الكُسيريات
على الأرجح ستجدهم--
ستجد هذه المصطلحات مستخدمة،
هذه الأفكار مستخدمة.
ولأعطيك خلفية
كافية لكي
تستطيع أن تقرأ بشكل إضافي عن
هؤلاء المواضيع لوحدك،
إذا أردت.
إذاً، دعونا نبدأ
من خلال النظر إلى
أنظمة التابع التكراري.
إذاً، وصف قصير جداً
لأنظمة التابع التكراري،
المختصرة غالباً IFS.
إذاً، نظام التابع التكراري
هو تحويل هندسي
مكرر أو معاد.
إذاً، التحويل الهندسي الأساسي
هو أن تبدأ بمستطيل،
اصنع أربع نسخ صغيرة
من المستطيل،
ورتبهم هكذا.
إذاً، في الواقع هذه
أربع تحويلات هندسية
بواحدة. آخذ مستطيل،
وأقلصه، أضعه هنا...
مستطيل، وأقلصه،
وأضعه هنا...
هذين المستطيلين
مُقلّصين لكن أيضاً مدارين
60 درجة بهذا الإتجاه،
60 درجة بهذا الإتجاه.
كلٌّ من هذه التحويلات
الهندسية يمكن
وصفها رياضياً.
ستكون عملية
مصفوفة نوعاً ما.
ستقلّص
كمية معينة
بهذا الاتجاه،
كمية معينة
بهذا الاتجاه،
ومن ثمّ تحوّل
وإن كان هناك ضرورة
تدير. إذاً، لن
ندخل في الرياضيات
على الإطلاق. إنها تتجاوز
هذه الدورة، لكن بإمكانك
كتابة المصفوفات
التي تقوم بالتحويلات
الهندسية هذه. إذاً، عندئذٍ،
بمجرد ما كتبت
تلك العمليات.
تكررها فقط.
تأخذ ما لديك
من الخطوة الأولى
استخدم ذلك كمدخل
لتصل للخطوة الثانية.
إذاً هنا. نقوم مجدداً
بنفس التحويل تماماً.
نأخذ أربع نسخ،
نقلصهم. 1، 2،
3. وتدار هاتان
النسختان. ومن ثمّ
نقوم بذلك مرة
بعد مرة.
ونبقى مع
صديقنا القديم،
منحني Koch.
إذاً، هذا مثال واحد عن
نظام التابع التكراري.
ودعونا نلقي
نظرة على مثال آخر
لديه نتيجة مثيرة للإهتمام
أكثر بعض الشيء
وبالتأكيد مألوف بشكلٍ أقل.
ها هنا مثال آخر.
إذاً، نبدأ بمربع
محدد هنا، ونقوم
بتحويلين
للمربع. نأخذ
المربع ونقلصه.
إذاً، يصبح هذا المربع الكبير
هذا المربع الداكن.
ومن ثم نأخذ
أيضاً هذا المربع،
نقلصه أقل
قليلاً، نديره،
وننقله إلى هنا.
إذاً، نبدأ
بالمربع الأولي، ننتهي
بهذين المربعين الداكنين،
نضيفهم معاً.
إذاً، هذا الـ "U" هي
دالة اتحاد-- فكر
بهذا بمصطلحات المجموعات
إذاً، نبدأ بمربع
ومن ثمّ نقوم
بهذين التحويلين
وندمجهم
لنحصل على هذا الشكل.
إذاً، ها هي دالتنا.
مجدداً، يمكن وصفها
بعدة مصفوفات
اللواتي يقمن بهذا الدوران
والتقلص
والتحويل. ومن ثم
سنأخذ ذلك الشكل ونعيد الكرة.
إذاً، سنأخذ هذا الشكل
وسنقوم بشيئين.
سنصنع نسخة أصغر
ونزلقها
لليسار. ها هي
نسخة أصغر.
ومن ثمّ
نأخذ هذه النسخة
ونقوم بما
قمنا به هنا. نجعلها أصغر
وندورها هكذا.
إذاً، نأخذ هذا الشكل،
نجعله أصغر
ندوره هكذا
ونحصل على هذا.
لا تبدو جيدة المظهر جداً.
في هذا المثال.
تستطيع أن ترى
مباشرةً--
جزئياً لأنّنا
كنا ننظر
لمنحني Koch دائماً،
يمكنك القول، "حسناً،
أعرف ماذا
سيكون هذا."
لكن هنا، على الأرجح كان يحب علي
أن أريك هذا فقط
لكن لأزيد التشويق قليلاً
إنّه ليس
واضحاً ماذا
سيحدث.
حسناً، لقد تبيّن--
إذاً هذه الخطوة 1، 2،
3، وبعدئذٍ
يقفزن للأمام، أعتقد،
لخمسة أو ستة بهذا الشكل--
أحدهما يصبح
مثير للإهتمام جداً،
حلزوني نوعاً ما.
إذاً هذا النوع من الأنظمة
الرياضية معروف
بنظام التابع التكراري،
وهو مزيج
من سلسلة تحويلات
هندسية
مكتوبة عادةً
بشكل مصفوفة
نوعاً ما. وعندئذٍ بإمكانك
كتابة ماذا
يحدث عندما تكرر ذلك
وذلك نظام رياضي
معرف جيداً.
يوجد بعض النظريات
حول هذا تقول
أنّ هناك جاذب فريد من نوعاه
وأعتقد مستقر.
إذاً، أي شكل
نوعاً ما
تبدأ به
سوف ينتهي
بهذا الشكل الحلزوني.
وعندئذٍ يستطيع
أحدٌ ما أن يقوم
بأنواع مختلفة من
التحليل الرياضي في هذا.
إذاً المقصد الرئيسي
لهذا هو أن تقول نعم،
يستطيع أحدٌ ما أن يصف
هذه العمليات
التي كنت أصفها
فقط بالكلمات
والصور ويداي.
وهناك مجموعة
وافرة جداً من الرياضيات
التي يمكن استخدامها لهذا.
لا أعتقد أنّ
أنظمة التابع التكراري
لديها الكثير من
التأثير المباشر
على الأنظمة المعقدة،
لذلك لن نغطيهم
كثيراً في
هذه الدورة،
لكنهم أشياء
ممتعة
لنجرب بهم.
لقد كان هناك الكثير
يكتبون عنهم.
لدي عدة
مراجع في
قسم المصادر الإضافية
لهذا الفصل، هذه
الوحدة، إذا أردت
أن تقرأ المزيد،
بالطبع يمكنك
لوحدك. إذاً،
هؤلاء هم
أنظمة التابع التكراري.
طريقة أخرى
لتشكيل هذه الفكرة
لبناء الكُسيريات
هي من خلال شيءٍ ما
معروف بأنظمة L.
أنظمة L، كما سنرى
هي طريقة خوارزمية
لتوليد
كُسير. إذاً، أفكر
بأنظمة التابع
التكراري كونها
جبرية وهندسية.
الجبر من
المصفوفات
المستخدمة لترميز
التحويلات الهندسية.
أنظمة L هي خوارزمية،
أشياء قد تستطيع
أن تخبرها بسهولة
للحاسوب ليقوم بها.
إذاً، هذه خلاصة
صغيرة. مجدداً،
لن ندخل بها
كثيراً في هذه
الدورة، لكن فكرت
أنّها ربما تستحق
عرضها بمثال واحد
لكي تعلم عما
يدور هذا.
لأنّك قد
تصادف هذه
الأفكار في مكانٍ آخر.
ويمكن أن تكون هذه بداية
إذا أردت أن تبحث
بهذا في المستقبل.
إذاً، سأوضح
أنظمة L بمثال.
إذاً، يبدأ أحدٌ ما
بنقطة بداية--
-- بماذا أيضاً
يمكن أن يبدأ أحدٌ ما؟--
ويدعى ذلك
بخيار بديهي. وسأرمز
بـ "F" لهذا.
وبعدئذٍ هناك
شيءٌ ما يدعى
قاعدة الإنتاج،
وذلك
تحويل من
رمز إلى
آخر أو مجموعة
رموز.
وفي هذه الحالة،
نقوم بالتالي.
إذاً القاعدة هي
يتم تحويل F إلى
F زائد F ناقص F زائد F
(F + F - - F + F)
وهذا ليس شيئاً ما
تقوم به حسابياً
لكن هذه سلسلة من
التعليمات، كما
سأشرح خلال لحظة
يوجد هناك قواعد
إنتاج أخرى التي نحتاجها.
يقول هذا أنّ الزائد تتحول
إلى زائد (+ → +)
والناقص تتحول
إلى ناقص (- → -).
ومن ثم سيكون هناك
وسيط،
والذي سيكون في هذه الحالة
60 درجة.
حسناً، إذاً ما كل هذه
الأشياء؟
دعوني أجرب أن أرسم
لأوضح هذا.
إذاً، نبدأ بخيارنا
البديهي، F.
إذاً سيكون هذا n=0.
ومن ثمّ نستبدل
F بهذا.
وعلى الأرجح لقد
توقعت ذلك. إنّه هذا
الشكل مجدداً. إذاً F
تُستَبدل
بـ F زائد F ناقص ناقص
F زائد F (F + F - - F + F).
وما يحدث
هنا هو كالتالي:
F تعني، ارسم قطعة مستقيمة
وتعني أيضاً انعطف
نحو اليسار 60 درجة
حيث يدخل هذا
الوسيط،
ثمّ تعني F ارسم
قطعة مستقيمة. ناقص
تعني انعطف نحو اليمين
60 درجة. إذاً
إنّك تتجه بهذا الاتجاه،
تنعطف نحو
اليمين 60 درجة.
ومن ثمّ هناك ناقص
أخرى. انعطف نحو اليمين
60 درجة مجدداً.
الآن إنّك تتجه بذلك الاتجاه،
ارسم قطعة مستقيمة،
تقوم بزائد، تنعطف
لليسار 60 درجة
ومن ثم
F أخرى. إذاً هذا
التسلسل من التعليمات
الذي يخبرك كيف
تذهب من القطعة المستقيمة هذه
للقطعة المستقيمة هذه.
إذاً، هؤلاء هم القواعد
التي تجلبنا
من هنا إلى هنا.
الآن، سنطبق
هؤلاء القواعد مجدداً.
تُستَبدل كل قطعة مستقيمة F
بهذا الشكل.
وهذا ما تفعله
قاعدة الإنتاج هذه تماماً.
إذاً، آخذ
تسلسل الرموز هذا
F زائد F
في كل مرة أرى F
سأستبدلها
بهذا الشيء الطويل،
وفي كل مرة أرى زائد
سأدعها وشأنها.
تُستَبدل F بهذا،
ناقص ناقص تُترك وشأنها،
وهكذا. إذاً،
دعونا نكتب ذلك.
إذاً تُستَبدل
هذه الـ F
بـ F زائد F ناقص ناقص F زائد F
(F + F - - F + F)
تلك الزائد تبقى كما هي.
تُستَبدل هذه الـ F
بهذا التعبير كاملاً.
F زائد F ناقص ناقص F زائد F
(F + F - - F + F)
ناقص ناقص تبقى لوحدها
ومن ثم F زائد F،
سيكون ذلك نفس
هذا.إذاً ذلك هو
F زائد F ناقص ناقص F زائد
F زائد F زائد F ناقص ناقص
F زائد F. إذاً، هذه المجموعة
الطويلة من التعليمات
ستعطينا الخطوة التالية
في منحني Koch. إذاً بإمكاننا
أن نقوم بذلك بهذا
الشكل من نظام L،
سيصبح الشكل
أكبر في كل مرة.
سوف أقيسه
لكي يتناسب
على قمة هذا. إذاً F
زائد، انعطاف نحو اليسار،
زائد، انعطافان نحو اليمين،
ارسم F أخرى، زائد انعطاف
نحو اليسار، وهكذا.
إذاً هؤلاء هم أنظمة L.
إنّها طريق تحدد
رمزياً هذه العملية
التي كنا نقوم بها
طوال الوقت الذي كنا نأخذ به
قطعة مستقيمة، نستبدلها
بقطعة مستقيمة منحنية.
إذاً، هذا النوع من التعليمات
أعتقد أنّهم جيدين جداً
للناس لأنّنا نعرف
عندما أقول "خذ
قطعة مستقيمة، استبدلها
بقطعة مستقيمة منحنية،" تعلم
ما أعنيه،
وتقوم بهذه الرسمة وتكررها.
لكن إن احتجنا
أن نحددها بشكلٍ بديهي
للحاسوب، هذه طريقة
لفعل ذلك. إذاً، هؤلاء هم أنظمة L.
ويجب أن اختتم
بذكر أنّ أنظمة L لهم
فوائد وليس فقط لأنّهم
يخبروننا كيف
نخبر الحاسوب للقيام بهذا
لكنهم أيضاً ربما يعطون
دليلاً لكيفية
ضبط القواعد لإنتاج
كُسير يمكن تشفيره
بنظام عادي ما .
ربما في بعض العمليات
التطويرية التي تصنع شجرة
أو في شيفرة جينية ما
أو شيئاً ما. إذاً، الدرس
الأساسي مشابه
لأنظمة التابع التكراري.
مجدداً، لدينا قاعدة بسيطة
فقط نأخذ F
ونستبدلها بهذا
التعبير المضحك،
وإذا طبقنا ذلك بشكل تكراري،
يمكننا أن نصنع كُسير.
إذاً أنظمة L، يمكنك أن تمثل
حسب أنظمة L كل أنواع
الكُسيريات، تقريباً
أيّاً من الكُسيريات
الرياضية التي كنا
نعمل بها لحد الآن
يمكن كتابتها كأنظمة L.
ويمكن لأحدٍ ما أن يثبت مجموعة
من خصائص هذه
الأنواع من الأنظمة. مجدداً، لن
نقوم بذلك في هذه الدورة.
ذلك خارج النطاق قليلاً،
لكن هناك الكثير من المصادر
إذا أردت أن تقرأ المزيد.
حسناً، إذاً الخلاصة
هي أنّ عمليات هندسية بسيطة
مكررة تصنع كُسيريات.
يمكن أن تصف هؤلاء
بـ IFSs أو بأنظمة L.
وفي الوحدة الفرعية
التالية، سوف ننظر إلى
ماذا يحدث إذا أخذنا
هذه الأنظمة الحتمية الدقيقة
وأضفنا القليل من العشوائية
أو الضجيج لهم.