Vamos então resumir
o que demos nesta unidade.
Começámos por introduzir
a ideia de fractais de uma maneira bastante qualitativa.
Dissemos que fractais são objetos autossimilares
pequenas partes destes objetos são semelhantes ao objeto em si
E vimos alguns exemplos...
Um dos quais foi a imagem da árvore de sycamore.
Onde podemos ver ramos que vão dar
a outros ramos que por sua vez, vão dar a outros ramos.
E todos estes ramos se parecem uns com os outros.
É por isso autossimilar, e para algo
ser considerado um fractal, tem de
ser autossimilar em várias escalas.
Portanto ramos que vão dar a ramos,
que vão dar a outros ramos,
e talvez ainda existam ramos ainda mais pequenos.
Portanto, isto é autossimilar em várias escalas.
E por isso dizemos que estamos a trabalhar com um fractal
Depois considerámos alguns fractais matemáticos,
como o triângulo de Sierpinsky, aqui.
E introduzimos a ideia
da dimensão de autossimilaridade.
E aqui está a equação chave.
O número de cópias pequenas dentro de um objeto
é igual ao fator de ampliação,
ou fator de estiramento, elevado a D.
Portanto, por exemplo aqui, o fator de ampliação é 2.
para ir daqui para aqui.
ampliamos num fator de 2, esticamos 2 vezes.
e temos 1, 2, 3 formas pequenas
Portanto, substituímos isto na nossa fórmula.
Podemos usar logaritmos e
vemos que a dimensão é cerca de 1.585
E como já tinha mencionado
esta meneira de ver as cópias pequenas
e descobrir o fator de ampliação
precisa de alguma prática.
Mais uma vez, é algo bastante visual,
e portanto explicá-lo por palavras
pode não ser suficiente, por vezes.
Portanto, se tiver alguma dúvida nisto,
não há problema, continue a praticar e haverá
mais exercícios deste tópico no trabalho de casa, também.
Ok, então isto foi para a dimensão de autossimilaridade.
Perlo caminho, demos também uma pequena
revisão nas exponenciais e logaritmos
Isto foi uma secção opcional
Mas também gostava de a incluir aqui
para ser uma referência útil.
A ideia principal é que a exponenciação
é definida como uma série multiplicações sucessivas.
E esta é a definição de um logaritmo.
10 elevado a log x é igual a x
E através de propriedades da exponenciação e da definição de logaritmos
podemos provar todas estas propriedades úteis.
Ok, de volta às dimensões.
Estamos a trabalhar com objetos que têm
dimensão entre 1 e 2.
Portanto, a sua dimensão de autossimilaridade estará entre 1 e 2.
E isso é estranho, um bocado desconfortável.
O que é que isso significa?
Bem, uma meneira de pensar nisto é que
estes objetos tanto têm propriedades unidimensionais
como bidimensionais.
Portanto curva de Sier... desculpem, a curva de Koch
tem um comprimento infinito, mas uma área finita.
Posso meter a curva numa caixa com tamanho finito.
Mas esta curva mas minhas mãos tem comprimento infinito.
Portanto se encaixa numa área finita
tem propriedades bidimensionais.
Mas tem comprimento infinito,
e portanto tem propriedades unidimensionais.
Ou seja, é esta relação de meio termo,
o facto de uma forma ter uma combinação de características.
O triângulo de Sierpinsky tem área 0
mas perímetro infinito.
Mais uma vez, isto são formas bastante interessantes
que têm diferentes combinações de propriedades.
Outra maneira de pensarmos na dimensão,
que será cada vez mais importante,
à medida que avançamos no curso
e que até é algo mais concreto acho eu:
é pensar em termos de escala.
Portanto, se eu aumentar o tamanho de um objeto, se eu o duplicar
Todos os comprimentos nesta direção, nesta direção e nesta direção
Se eu puser o objeto numa fotocopiadora e a configurar para 200%
O que acontece ao objeto?
Bem, acontecem coisas diferentes
para formas com dimensões diferenets.
Portanto, se tivermos uma esfera com 3 dimensões
e estico-a por um fator de 2.
Agora a esfera é 8 vezes maior.
Porque 2 ao cubo é 8.
Agarramos no fator de ampliação,
por quanto estamos a aumentar
e elevamos esse valor à dimensão
Portanto, a dimensão diz-nos
como é que o tamanho de um objeto varia
à medida que o escalamos.
e escrevo tamanho aqui
porque poderá querer dizer coisas diferentes
em diferentes contextos
pode querer dizer volume, área,
podemos pensar nisto em termos de massa talvez,
Quantidade de tinta para desenhar um figura.
Mas a ideia principal é como é que o
tamanho muda quando ampliamos.
determinado pela dimensão e
não há nenhuma razão para
a dimensão ser apenas 1, 2 ou 3.
Não há nada de mal com uma dimensão
de 1.5 ou 1.6 ou algo assim.
Portanto, isto foi a dimensão e a escala.
Também falei um bocado sobre
esta noção de ser livre de escala
Portanto, se um objeto for autossimilar,
muitas vezes dizemos que é livre de escala.
Por exemplo, para a a curva de Koch,
não há nenhum tamanho típico para as saliências.
É uma linha com uma saliências,
e depois saliências nas saliências
e mais saliências nessas saliências
existem saliências de todos os tamanhos.
Pelo contrário, temos o tamanho típico de um tomate.
Cerca de meio quilo, por vezes mais, outra vezes menos.
Mas existe um tamanho típico para um tomate.
Portanto, se eu estivesse a mostrar uma imagem
de um objeto que nunca tivesse visto,
e quisesse indicar
qual o tamanho desse objeto,
podia por um tomate ao pé desse objeto desconhecido.
para ter uma ideia do seu tamanho.
Se eu mostrasse apenas um segmento da curva de Koch,
não iria ajudar muito.
Porque podia estar a olhar para um
pedaço pequeno ou grande, são todos parecidos.
Outra maneira de pensar nisto é que em todos os fractais
se os encolhermos não nos apercebemos do que aconteceu
ou seja, se de repente fossemos encolhidos por um fator de 10
e o resto do mundo ficasse na mesma
Se vivêssemos no triângulo de Sierpinsky ou noutro fractal
não nos iriamos aperceber
Porque não temos nenhum objeto a servir de escala.
E mais uma nota acerca da autossimilaridade,
vale a pena lembrar que os fractais reais,
árvores, bacias de rios e aí por diante,
ao contrário dos fractais matemáticos,
os fractais reais não são sempre autossimilares,
não podem ser
existe um limite inferior para
o qual a autossimilaridade pára,
e também existe um limite superior.
De qualquer maneira, os fractais são bastante úteis
são abstrações bastante úteis
para descrever objetos.
Tal como as formas puras da geometria clássica,
linhas e círculos, etc.
Também são abstrações bastante úteis
para descrever objetos reais.
Vamos então falar um bocado
da definição de um fractal.
E a primeira coisa que devo dizer
é o que está em baixo:
Que não há uma definição rigorosa
e geral de um fractal.
É mais uma noção talvez
do que uma categoria absoluta.
Mas aqui estão alguma propriedades que os fractais apresentam.
Existe autossimilaridade a várias escalas,
como já vimos.
Não são bem categorizados por uma geometria clássica.
círculos e esferas e cubos e triângulos.
Têm uma dimensão de autossimilaridade
que é maior do que a dimensão topológica.
A dimensão topológica é mais ou menos
a noção intuitiva de dimensão.
Portanto, a curva de Koch, pensamos: Oh, isso é uma linha!
Porque é uma linha, uma linha muito acidentada
mas uma linha mesmo assim.
Então, a sua dimensão topológica é 1.
Mas como vimos,
a sua dimensão autossimilar é maior que 1.
Esqueci-me, é 1.2, 1.3 , algo assim.
Eu não me quero aprofundar
nas dimensões topológicas.
Mas a ideia principal é que estas formas
têm dimensões estranhas, por vezes não inteiras,
não o que seria de esperar.
São feitos a partir de objetos unidimensionais
Mas o fractal em si tem uma dimensão diferente
Isto traz-nos, então, para o fim desta unidade
Na próxima unidade iremos ver
mais alguns tipos de fractais.
Fractais que apresentam alguma aleatoriedade,
e que, portanto, não são perfeitamente simétricos.
E também vou introduzir um novo tipo de dimensão.
relacionada com a dimensão de autossimilaridade
chamada a dimensão da "counting box".
Vemo-nos para a semana.