إذاً دعونا نلخص
ما غطيناه في هذه الوحدة.
نبدأ من خلال تقديم
فكرة الكُسيريات في طريقة نوعية جداً.
لنقل الكُسيريات هي أشياء مشابهة ذاتياً،
أجزاء صغيرة من الشيء، مشابهة للشيء كاملاً.
ولقد نظرنا إلى عدة أمثلة.
أحدها صورة لشجر الدلب.
حيث يمكننا أن نرى أغصانها
والتي تتفرع من أغصان والتي تتفرع من أغصان.
والأغصان كلها تشابه بعضها.
إذاً إنّها مشابهة ذاتياً وما يمكن
قوله لتكون كُسيراً، يحتاج أن
يكون مشابه ذاتياً على عدة مقاييس.
إذاً أغصان تتفرع من أغصان
والتي تتفرع من أغصان،
وربما لا يزال هناك أغصان أصغر.
إذاً ذلك تشابه ذاتي على عدة مقاييس.
سنقول أنّنا كنا نعمل مع الكُسيريات.
ثمّ نأخذ بعين الاعتبار بعض الكُسيريات الرياضية،
كمثلث Sierpinski هنا.
ولقد قدّمت فكرة
البُعد المشابه ذاتياً.
وها هي المعادلة الرئيسية.
عدد النسخ الصغيرة داخل شيءٍ ما
مساوية لعامل التكبير،
عامل التمدد، مرفوع إلى قوة D.
إذاً كمثال هنا، عامل التكبير هو 2.
لتذهب من هناك لهناك
كبّر بـ 2، مدّد بـ 2.
وهناك 1،2،3 أشكال أصغر.
إذاً لقد أدخلنا ذلك إلى هذه المعادلة.
يمكننا أن نستخدم اللوغاريتمات
ونتوصل إلى أنّ البعد هو حوالي 1.585
كما ذكرت سابقاً
حركة رؤية الأشكال الصغيرة
واكتشاف عامل التكبير
تأخذ القليل من التمرن.
مجدداً إنّها من الأشياء المرئية نوعاً ما
ولذلك الوصف بالكلمات أحياناً
يعطي إحساس بأنّه غير ملائم.
إذاً إذا لا زلت مرتبكاً قليلاً حول هذا،
لا تقلق، استمر بالتمرن، وسيكون
هناك مشاكل تمرن أكثر بالواجبات أيضاً.
حسناً، إذاً لقد كان هذا البُعد المشابه ذاتياً.
على طول الطريق،
لقد قمنا بمراجعة سريعة للأس واللوغاريتم.
كان هذا قسماً اختيارياً
لكن أردت فقط أن أضمّنه هنا،
ربما كمرجع مفيد.
الشيء الرئيسي هو الأسيّة
معرفة كونها عملية ضرب متعاقبة.
وهذا هو التعريف للوغاريتم.
10 مرفوعة إلى لوغاريتم x يساوي x
ومن خصائص الأسس وتعاريف اللوغاريتمات،
تُتْبع كل هذه الخصائص المفيدة.
حسناً، إذاً ذلك هو البُعد
إنّنا نعمل مع أشياء بين
بُعد 1 و 2.
إذاً بُعد التشابه الذاتي هو بين 1 و 2.
وذلك غريب، غير مريح قليلاً.
ماذا قد يعني ذلك؟
حسناً، أحد الطرق لتفكر بها هي أنّ
كلاهما لديهما صفات أو ميزات
أو خصائص أحادية وثنائية البُعد.
إذاً مثلث Sierpinski، اعذروني، منحني Koch
لديه طول مطلق، لكنه في منطقة محدودة.
كتعبئته في منطقة محدودة.
لكن المنحني بين يدي كطول مطلق.
لكي يناسب منطقة محدودة
ذلك شيء تكنولوجي ثنائي البعد نوعاً ما.
لديه طول مطلق،
ربما هذا شيء تقني أحادي البعد.
إذاً يتوزع بين البعدين
ذلك شكل لديه مجموعة من الميزات.
مثلث Sierpienski لديه مساحة معدومة
لكن محيط لا نهائي.
إذاً مجدداً هذه أنواع مضحكة من الأشكال
والتي لديها، مجموعة من الميزات المختلفة.
في طريقة أخرى للتفكير بالبُعد،
والذي ستكون هامة أكثر وأكثر
باستمرارالدورة والتي
أعتقد أنّها واقعية أكثر قليلاً للتفكير
في مصطلحات التدريج.
إذاً إذا زدت حجم شيءٍ ما، إذا ضاعفته،
كل الأطوال بهذا الإتجاه، هذا الإتجاه، هذا الإتجاه
إذا وضعته في آلة ناسخة، ضغطت على 200 بالمئة،
ماذا يحدث للشكل؟
حسناً، تحدث أشياء مختلفة
للأشكال ذوي الأبعاد المختلفة.
إذاً لدينا جسم كروي هنا والذي هو ثلاثي البُعد
وأمدّده بعامل 2.
إنّه أكبر بـ 8 مرات الآن.
لأنّ 2 مكعب تساوي 8.
نأخذ عامل التدرج،
بكم نزيده
ونرفعه للبُعد.
إذاً البُعد يخبرك
كيف يتغير حجم شيء
عندما يزيد حجمه.
أضع الحجم هنا
لأنّه قد يعني أشياء مختلفة
وحالات مختلفة،
قد يعني مقدار، منطقة،
يمكنك أن تفكر به بمصطلحات الكتلة ربما،
كمية الحبر لرسم شكل.
الشيء الرئيسي كيف يتغير الحجم
عندما تزيده.
محدد بواسطة البُعد
ولا يوجد هناك أي سبب لماذا يمكن للبُعد
أن يكون 1،2 أو 3 فقط .
لا يوجد أي خطأ بالبُعد
1.5 أو 1.6 أو أي شيءً آخر.
إذاً ذلك بُعد و تدريج.
وإنّي أتكلم قليلاً أيضأ عن
هذا المفهوم لشيءٍ ما كونه بدون مقياس.
إذاً إن كان شيءٌ ما مشابه ذاتياً،
نقول غالباً أنّه بدون مقياس.
كمثال بالنسبة لمنحني Koch،
لا يوجد حجم نموذجي للنتوءات.
إنّه خط مع نتوءات فيه،
وحتى نتوءات على نتوءات
على نتوءات.
نتوءات بكل الأحجام المختلفة.
في المقابل، هناك حجم نموذجي للطماطم.
رطل تقريباً، أحياناً أقل وأحياناً أكثر.
لكن يوجد هناك حجم نموذجي.
إذاً إن كنت أريك أخذ صورة
لشيءٍ ما لم تره من قبل
وأريد أن أبيّن لك
ماذا كان حجم ذلك الشيء،
أضع حبة طماطم بجانب ذلك الشيء غير المعروف
لكي يكون لديك فكرة عما كان حجمه.
إذا أريتك قطعة مستقيمة فقط من منحني Koch ،
ذلك لن يساعد.
لأنّك يكمن أن تكون تظر إلى قطعة صغيرة
أو قطعة كبيرة، كلهم يبدون نفس الشيء.
طريقة أخرى للتفكير بها هي أنّ أي كُسير
إن كنت قد تقلّصت، لا يمكنك معرفة ذلك،
إذاً إذا تم تصغير حجمك فجأةً بعامل 10
ولنقل نفس الشيء بالنسبة لبقية العالم،
إن كنت تعيش في مثلث Sierpinski أو كُسير،
لن تتمكن من معرفة ذلك.
لأنّ لا يوجد أي شيء محدد لمقياس الحجم.
أنا أعلم فقط حول التشابه الذاتي،
إنّه من الجدير ذكر الكُسيريات الحقيقية،
الأشجار وبرك الأنهار وهكذا.
مزعومة للكُسيريات الرياضية.
الكُسيريات الحقيقية ليست متشابهة ذاتياً للأبد،
لا بمكن أن يكونوا كذلك.
يوجد مقياس أدنى ما أو
أو حيث يتوقف التشابه الذاتي.
ومقياس أعلى ما أيضاً.
ومع ذلك الكُسيريات مفيدة جداً
لفكرة تجريدية مفيدة جداً
لوصف الأشياء.
تماماً كأشكال تجريدية للهندسة التقليدية،
خطوط ودوائر وهكذا.
يوجد أيضاً أفكار تجريدية مفيدة جداً
لوصف الأشياء الحقيقية.
إذاً، دعوني أقول القليل عن
تعريف الكُسير.
وربما الشيء الأول
الذي يجب أن أقوله بسبب ما حدث هنا.
أنّه لا يوجد تعريف، أعني أنّه لا يوجد
تعريف محكم، قياسي، شامل للكُسير.
إنّه كفكرة عامة أكثر من كونه تعريف،
ربما قد تكون من فئة صارمة بشكلً مطلق.
لكن هنا بعض من الميزات التي تمتلكها الكُسيريات.
هناك تشابه ذاتي عبر العديد من المقاييس
كما ناقشنا.
يوجد هناك دوائر ومكعبات وأجسام كروية ومثلثات
ليست موصوفة بشكلً جيد من قبل الهندسة التقليدية،
لديهم بُعد مشابه ذاتياً
والذي هو أكبر من البُعد الطبولوجي.
البُعد الطبولوجي هو أكثر أو أقل
المفهوم البديهي للبُعد.
إذاً منحني Koch، نعتقد، ذلك خط.
لأنّه خط، خط منحني جداً
لكنه لا يزال خطاً.
إذاً بُعده الطبولوجي هو 1.
لكن كما رأيت،
بُعد تشابه الذاتي أكبر من 1.
لقد نسيت، إنّه 1.2، 1.3 شيئاً ما كهذا.
إذاً لا أريد أن أدخل
في البُعد الطبولوجي في الكثير من التفصيل.
لكن الشيء الرئيسي هو أنّه لديهم
أبعاد غريبة، ليست أعداد صحيحة غالباً أو
لكن ليس كما كنت تتوقع.
إنّهم مبنين من أشياء مقامة ببعد واحد.
لكن الكُسير الحقيقي نفسه لديه بُعد مختلف.
إذاً يجلبنا هذا إلى نهاية هذه الوحدة.
في الوحدة التالية، سننظر إلى
بعض الأنواع الإضافية من الكُسيريات.
جمع الكُسيريات فيه بعض العشوائية فيه.
ولذلك إنّهم متماثلين تماماً.
وسأقدّم أيضاً نوعٌ آخر من البُعد
مرتبط إلى حد بعيد بالبُعد المشابه ذاتياً
يدعى بُعد عد الصناديق.
أراكم الأسبوع القادم.