Neste vídeo vamos pensar na área
e no perímetro do triângulo de Sierpinsky.
E isto vai semelhante
aos cálculos ou considerações que fizemos
quando tentámos descobrir o comprimento da curva de Koch.
E no decorrer deste vídeo
Vou dar as soluções do questionário anterior.
Portanto, aqui estão os passos
na construção do triângulo de Sierpinsky.
E tínhamos visto que no passo 0, inicialmente
vou chamar a esta área de A.
Então, qual é a área aqui?
Bem, podemos ver que o que acontece é que este triângulo
fica dividido em 4 triângulos iguais,
um dos quais desaparece
Portanto, no passo 1, a área é três quartos
do que tínhamos originalmente.
Certo, daqui vamos, um quarto, dois quartos
três quatros, quatro quartos, mas este quarto está a faltar
Ok, então e no passo 2?
Bem, a mesma coisa acontece.
Neste triângulo vamos remover um quarto dele.
Neste triângulo removemos um quarto.
Neste triângulo removermos também um quarto.
Então ficamos assim com três quartos de três quartos.
Que é igual a três quartos ao quadrado, três quartos vezes três quartos.
No passo n,
temos três quartos elevado a n
vezes a área inicial.
E quando n tende para infinito
quanto mais longe formos nesta construção,
mais a área se aproxima de 0.
Ou seja, começamos com um triângulo e
ao iterar a figura muitas vezes,
ainda mais que estas.
Vemos que os triângulos estão a ficar
cada vez mais pequenos.
Assim, a área desta figura está a aproximar-se de 0.
Vamos agora pensar
no perímetro do triângulo de Sierpinsky.
Ok, inicialmente no passo 0
vamos assumir que cada lado mede 1
portanto o perímetro é 1, 2, 3
Temos então que no passo 0 o perímetro é 3,
porque temos 3 lados, cada um com lado 1.
Agora temos 9...1,2,3, 4,5,6, 7,8,9
Ou seja, o número de lados aumenta
por um fator de 3,
mas cada lado em si é metade do tamanho original.
Certo, porque o tamanho é 1,
cada um destes lados é apenas metade.
Temos então 3 vezes mais lados com metade do comprimento.
o perímetro é então, no passo 1,
começamos em 3,
mas isso fica multiplicado por três meios,
porque existem 3 vezes mais lados
mas cada lado tem metade do tamanho.
Certo, no passo 2, a situação repete-se
Cada triângulo, que tem 3 lados
transforma-se num destes que tem 9... 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9
Mais uma vez, o número de lados aumenta 3 vezes.
Temos 3 vezes mais lados do que no passo anterior,
mas cada lado tem metade do tamanho.
Este lado tem metade do tamanho daquele
portanto, significa que são três meios do que tínhamos
assim ficamos com 3 meios de 3 meios de 3.
ou nove quartos de 3
ou se calhar devíamos escrever desta maneira
três meios ao quadrado de 3.
E no passo n, teremos três meios elevado a n
vezes 3 , que é o nosso perímetro original.
Ou seja, o que temos que ter em atenção aqui é que
estes números estão a ficar cada vez maiores
3 meios é 1.5
multiplicamos 3 por 1.5, por 1.5, por 1.5...
Estes números a ficar cada vez maiores
E à medida que n tende para infinito,
à medida que fazemos isto cada vez mais,
o perímetro também tenderá para infinito.
Ou seja, esta forma o triângulo de Sierpinsky,
depois de repetirmos este processo muitas vezes
a área está a ficar cada vez mais próxima de 0
mas o perímetro da forma
está a ficar cada vez maior
E, no limite matemático, onde n tende para infinito
Isto fica com área 0 mas perímetro infinito.
Por último, vamos pensar na dimensão do triângulo de Sierpinsky.
Lembremos-nos que na subunidade anterior que calculámos
a dimensão e vimos que era cerca de 1.585.
Uma vez mais, um número entre 1 e 2.
Então, como estava a dizer antes de falar na curva de Koch,
isto significa que tem alguma propriedades bidimensionais
e algumas unidimensionais
Portanto, é bidimensional de uma maneira
É bidimensional no sentido em que
começou como uma forma bidimensional, um triângulo
Mas começamos a remover cada vez mais desse triângulo,
e ficamos com triângulos cada vez mais pequenos
e na verdade, quando repetimos isto até ao infinito
ficamos apenas com segmentos de reta com dimensão 1.
Outra maneira de pensar nisto, é que começamos com algo
que tem uma área bidimensional, um triângulo
mas acabámos com algo que apenas tem perímetro e não área.
Portanto, é como se a segunda dimensão
fosse diminuindo e se aproximasse da primeira dimensão, só perímetro e sem área.
Portanto só existe perímetro não existe área, já que é unidimensional
Mas começou tendo as duas dimensões.
Mais uma vez, isto é apenas uma maneira mais intuitiva
de pensar nestes objetos com este tipo de dimensão interessante, entre 1 e 2.
São unidimensionais num sentido, mas também bidimensionais.