Neste vídeo, vou mostrar uma maneira ligeiramente diferente
de pensar na dimensão.
Quando introduzi a dimensão de autossimilaridade
a nossa ideia era a de que tínhamos um objeto
e estávamos a tentar descobrir a sua dimensão
determinando o número de cópias que cabiam numa cópia grande
Neste vídeo, vou optar por uma perspetiva algo diferente .
Vamos imaginar que já sabemos
a dimensão de um objeto e assim podemos
usar isso para prever o que acontece a esse objeto
quando alteramos a sua escala.
Vamos começar por olhar para alguns
objetos geométricos com dimensão inteira.
Vamos então começar por pensar no que acontece
a uma forma se aumentarmos a sua escala
Já explico o que quero dizer com isto.
Aqui estão 3 formas que eu desenhei
não muito bem, mas fui eu que as fiz.
Aqui está uma linha, é unidimensional.
Aqui está um quadrado, é bidimensional.
E aqui está um cubo, é tridimensional.
Então, o que aconteceria se eu agarrar
nestas formas e duplicar o seu tamanho.
E faria isso
indo ao piso de baixo do meu escritório,
e fazendo uma fotocópia deste desenho
mas com o dobro do tamanho.
Portanto, isto fica duplicado.
Isto é o dobro.
Este comprimento é o dobro e assim por diante
E agora pergunto
o que aconteceria ao tamanho ou à massa total destas formas?
Ok, eu tenho uma linha e duplico-a.
Bem, esta linha tem agora o dobro do tamanho.
Portanto, iriamos utilizar duas vezes mais tinta.
Seria, se isto fosse um pedaço de metal
isto seria duas vezes mais
Se isto fosse, por exemplo, um bocado de carpete
E se eu a duplicar
Esta carpete é agora 4 vezes maior.
Se isto tiver 1 de lado
Então isto tem 2 de lado, 2 vezes 2 é 4.
Portanto, uma área de fica é transformada numa área de 4.
E isto é basicamente
os mesmos cálculos que fizemos,
o mesmo raciocínio que fizemos,
quando calculamos a dimensão de autossimilaridade.
Número de cópias pequenas é igual ao fator de ampliação elevado a D.
Portanto, para a linha
temos que quando a ampliamos
portanto duplicamo-la 2 elevado a D, desculpem,
a linha é 2 elevado a 1 que é 2,
Portanto, o fator de ampliação agora é 2,
temos o dobro da linha inicial.
duas vezes o número de linhas pequenas que tínhamos.
Para o quadrado é 4.
Agora não estou a pensar tanto
ou não só em cópias pequenas,
mas talvez na massa total,
na quantidade de material.
Se isto for uma carpete quadrada ou algo do género,
a quantidade de material na carpete.
E depois para o cubo, o cubo é tridimensional.
Se tivermos este cubo e tentarmos visualizar o sólido de um cubo,
se tivermos uma máquina mágica
que duplique o tamanho do sólido.
Teríamos 8 vezes mais cubo.
Se isto tiver lado 1, este cubo terá volume de 1.
Neste o lado é 2.
2 vezes 2 vezes 2 dá-me 8.
Podemos também imaginar que 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Todos estes cubos cabem aqui.
Ou seja, para um cubo
teríamos que 2 ao cubo é igual a 8.
Portanto, se pusermos uma linha, um quadrado e um cubo
na máquina de copiar
e perguntarmos qual o seu tamanho,
qual a sua massa total
esta máquina de copiar faz coisas diferentes: 2, 4 e 8.
Podemos tentar imaginar uma máquina de copiar que trabalha com volumes também.
Ou talvez seja uma
espécie de impressora ou fotocopiadora 3d esquisita. Certo.
Então agora vamos pensar em diferentes formas.
Isto é a curva de Koch.
Aqui está uma pequena curva de Koch.
E depois fiz a mesma coisa.
Pus esta forma na fotocopiadora
e disse: ok, duplica o tamanho da curva.
Agora a questão é:
Quanto maior é esta cópia?
Qual maior é em termos, digamos
da quantidade de tinta
que iriamos precisar para fazer isto.
Ou se estivesse a fazer uma escultura,
quão mais pesada seria essa essa escultura.
E talvez pensemos:
bem, é uma linha, portanto seria duas vezes maior
Mas não tem dimensão de 1.
Na verdade não é uma linha, é um fractal.
A sua dimensão está entre 1 e 2.
A dimensão da curva de Koch era de aproximadamente 1.262.
Então, quanto maior é a curva de Koch com duas vezes o tamanho?
Bem, vamos ver.
Vamos precisar de elevar 2 a 1.262.
E obtenho 2.399, vamos arredondar para 2.4.
Portanto, dimensão entre 1 e 2,
uma maneira de duplicar que estára no meio termo entre uma linha e um quadrado.
Isto talvez seja uma maneira geométrica
menos óbvia de pensar na dimensão.
Na verdade é o mesmo que a dimensão de autossimilaridade anterior.
É apenas uma perspectiva diferente.
Mas é uma nova forma
de pensar no significado dos números,
se eu disser que algo é 1.26 dimensional
soa bastante mal,
se calhar a maneira mais terra-a-terra
de pensar nisto é pensar no que acontece
quando duplicamos o tamanho da nossa forma.
Nalgumas formas, quando duplicamos o seu tamanho.
Elas também duplicam.
Noutras, quando duplicamos elas aumentam em 2 elevado a 2 igual a 4.
Outras vezes aumentam em 8 vezes.
e aqui está uma forma em que
esse comportamento é 2 elevado a 1.262.
Portanto, esta é mais uma maneira de pensarmos na dimensão.
Diz-nos o que acontece à massa ou tamanho total
quando aumentamos ou reduzimos a sua escala.