Este fractal é conhecido como a curva de Koch.
Em homenagem ao matemático sueco Helge von Koch
que foi o primeiro a descobrir a sua construção pouco depois de 1900.
Eu posso enganar-me e pronunciar o nome em Americano: a curva de Kotch.
Mas vou tentar evitá-lo.
Ok, a nossa tarefa é calcula a dimensão de autossimilaridade.
Portanto, vamos usar a nossa fórmula.
Número de cópias pequenas é igual ao fator de ampliação elevado à dimensão D.
Primeiro, vamos pensar no número de cópias pequenas.
Então, vamos olhar para a figura abaixo.
E vemos 4 cópias pequenas, 1, 2, 3 e 4.
Portanto, o número de cópias pequenas é 4.
Qual é o fator de ampliação?
Bem, o fator de ampliação é 3.
Eu preciso de esticar isto 3 vezes
para fazer com que este bocado mais pequeno
seja do mesmo tamanho deste.
Isto é verdade para todas estas formas.
Nesta peça, precisaria de agarrar nela, trazê-la para aqui e esticá-la 3 vezes
para que fosse do mesmo comprimento.
Também podemos ver aqui 1, 2, 3
Portanto, uh, eu teria de esticar isto por 3.
Certo, então o fator de estiramento, o fator de ampliação é 3.
que é elevado a D.
Portanto agora, vamos usar logaritmos para resolver em ordem a D.
Fazemos o logaritmos de ambos os termos
Usamos a propriedade exponencial dos logaritmos para trazer o D para baixo.
Dividimos tudo por log3 e obtemos...
Aqui está o nosso resultado.
Peço desculpa.
A dimensão de autossimilaridade D é log4 a dividir por log3.
E podemos obter um resultado numérico disso usando uma calculadora.
4 log a dividir por 3 log é igual a aproximadamente 1.262.
Então, D é aproximadamente 1.262
Logo a dimensão de autossimilaridade da curva de Koch é cerca de 1.262