هذا الكُسير معروف بمنحني Koch
على اسم الرياضي السويدي Helge von Koch
الذي كان أوّل من يأتي بهذه البنية بعد 1900 بوقتٍ قصير.
يمكن لي أن أدعوه، وألفظه على الطريقة الأمريكية، منحني Kotch لكن سأحاول ألا أفعل ذلك.
حسناً، إذاً مهمتنا هي أن نحسب بُعد التشابه الذاتي لهذا الكسير
إذاً سنستخدم المعادلة الاعتيادية
عدد النسخ الصغيرة هو عامل التكبير للبُعد D.
إذاً أولاً دعونا نفكر بعدد النسخ الصغيرة
إذاً سأنظر إلى ، على ما أظن، للشكل السفلي
وأرى 4 نسخ صغيرة 1، و2، و3، و4
إذاً عدد النسخ الصغيرة هو 4.
ما هو عامل التكبير؟
حسناً، عامل التكبير هو 3
سأحتاج إلى أن أمدد هذا 3 مرات
لكي تصبح النسخة الصغيرة
بطول هذه.
وذلك صحيح لكل هؤلاء الأشكال.
هذه القطعة، سأحتاج إلى أن أمسكها، أحركها إلى هنا ومن ثمّ أمددها 3 مرات لتكون بنفس الطول
يمكنك أن ترى أيضاً 1، 2، 3
إذاً ، بعدئذٍ يجب علي أن أمددها بـ 3
حسناً إذاً، عامل التمدد، عامل التكبير هو 3
تلك مرفوعة للقوة D.
إذاً الآن، نستخد اللوغاريتمات لنحل لـ D.
خذ لوغاريتم الطرفين
استخدم خاصية الأس للوغاريتم لنحصل على D.
قسّم على لوغاريتم 3 ونحصل على
إذاً هناك إجابة
آسف
بُعد التشابه الذاتي D هو لوغاريتم 4 على لوغاريتم 3
ويمكننا أن نحصل على هذا العدد باستخدام الآلة الحاسبة
4 لوغاريتم مقسمة على لوغاريتم 3 لوغاريتم يساوي حوالي 1.262
إذاً D تساوي 1.262 تقريباً
إذاً الُعد المشابه ذاتياً لمنحني Koch هو حوالي 1.262