U ovom videu ćemo se upoznati sa jednim matematičkim fraktalom
koji neki nazivaju fraktal snežne pahulje
i onda ćemo izračunati njegovu dimenziju
Fraktal snežne pahulje, kao i mnogi drugi fraktali, se pravi iterativnim procesom
Počnemo sa jednom tačkom
U svakom koraku, uzećemo figuru koju imamo
i napravićemo 4 kopije u svakom ćošku
Ovo je moja inicijalna faza
i onda imamo sledeću fazu
Napravićemo 4 kopije originalne tačke ovde 1, 2, 3, 4
OK, to je bio prvi korak. Sada ćemo ponoviti taj korak
U sledećem koraku ćemo uzeti ovu figuru koju čine svih 5 tačaka
i napravićemo 4 kopije ovde 1, 2, 3, 4.
Uradimo to. Ovo je prva kopija
i druga, treća i četvrta.
Dakle u sledećoj fazi, sledećem koraku, uzeo bih ovu figuru
u kojoj ima... 25 tačaka
i napravićemo 4 kopije i stavićemo jednu ovde
i jednu ovde, i jednu ovde i još jednu ovde.
I ako nastavimo to da radimo
dobićemo fraktal.
Ako nastavimo ovaj proces još par koraka dobićemo figuru koja izgleda ovako
I možemo videti da je ovo fraktal. Ovo je samo-sličan objekat
I ova figura oblike slova x je napravljena od x-ova
koji su napravljeni od x-ova, koji su opet napravljeni od x-ova i tako dalje
Vidimo da isti x oblik pojavljuje
ponovo i ponovo na mnogo različitih nivoa, pa je ovo fraktal.
Inače, treba napomenuti da iako smo ovo nazvali fraktal snežne pahulje
ovo samo liči na pahulju. Prave pahulje imaju 6 grana, a ne 4.
Bez obzira, meni liči na pahulju pa ćemo ga zvati fraktal snežne pahulje
Ne mislim da je to 100% standardno ime
OK, želimo da znamo koja je dimenzija ovoga
Uradićemo kako što smo uradili sa onim trouglom i sa ostalim primerima ranije
Gledaćemo male kopije u većoj kopiji
Da bismo to uradili koristićemo opet jednačinu o dimenziji
Broj malih kopija u nekom objektu
je faktor uvećanja, tj faktor proširenja
na D-ti stepen, gde je D dimenzija.
Bacimo još jedan pogled na proces kojim smo stvorili ovaj fraktal
Počeli smo u nultom koraku sa jednim kvadratom. Originalno sam ga nacrtao kao tačku.
I onda smo došli ovde i ovo je drugi korak i ovo je treći
Da vidimo, broj manjih kopija, pogledajmo ovu sliku
Broj manjih kopija, ja vidim 1, 2, 3, 4, 5,
Dakle broj manjih kopija je 5
Koliki je faktor proširenja, tj uvećanja, on je 3
Da bismo to videli, zamislimo koliko puta moram da proširimo ovu figuru da bi bila ovoliko dugo
Možemo videi da je ova dužina napravljena od 1, 2, 3 ove
Pa je faktor proširenja 3. Ovo je jedna trećina velicine ove velike
Dakle faktor uvećanja je 3. I to treba podići na D-ti stepen
Pitanje je kolika je dimenzija D
Let’s see, could the dimension be 1?
Probajmo, ako stavim 3 na 1 je 3, nije 5
Da li bi dimenzija mogla biti 2?
Da vidimo, 3 na kvadrat je 3 puta 3, to je 9. To je previše veliko
Znači ovaj objekat nema dimenziju ni 1 ni 2
Ima dimenziju između 1 i 2
I da bismo rešili ovu jednačinu po D, ,
D je dimenzija koja nas interesuje,
moraćemo da koristimo logaritme.
Da, logaritme. I ovo je pravo vreme da vas podsetim
da ovo poglavlje ima opcioni deo
koji ponavlja eksponente i logaritme.
U ovom kursu nema puno algebre
ali će se eksponenti i logaritmi pojavljivati podosta
I već možemo videti zašto.
Dimenzija, ovaj važni način da okarakterizujemo fraktale, je u eskponentu
Pa ćemo morati da znamo šta su eksponenti
A logaritmi se koristi de rešimo jednačinu
gde je nepoznata u eksponentu.
Eksponenti i logaritmi nas vode od jednog do drugog
pa ćemo morati biti brzi da osnovnim svojstvima eksponenata i logaritama
I to nije ništa strašno, sva svojstva su ponovljena u tom opcionom odeljku
Pa ako niste sigurni u svoje znanje o logaritmima ili nešto što kažem nema smisla
pogledajte taj opcioni odeljak i biće sve u redu.
Podsećam vas i da uvek možete potražiti pomoć na forumu
ako ima nečega u šta niste sigurni.
OK, da se vratimo na fraktal.
Ovde smo stali, imamo jednačinu 5 jednako 3 na D, i želimo da je rešimo po D
Da bismo to uradili pustićemo logaritam kroz obe strane ove jednačine
Dobijemo log5 jednako log3 na D.
I onda, prema svojstvu logaritama za eksponente, log3 na D je jednako Dlog3.
Imamo log5 jednako Dlog3.
U poslednjem koraku rešimo ovo po D
Podelimo obe strane sa log3 i dobićemo ovo
log5 kroz log3 jednako D.
I to je odgovor.
Ovo je tačan izraz po D.
Možemo dobiti tačan broj digitronom
Da vidimo, imamo log5 kroz log3
Evo ga moj verni digitron
i uradiću 5 logaritam podeljeno sa 3 logartiam
i dobijem približno 1.465
Dakle D je približno 1.465
Dobili smo da dimenzija ovog oblika nije ceo broj
nego broj između 1 i 2.
To je malo čudno.
Nismo navikli na dimenzije koje nisu ceo broj
i pričaćemo još u ovom poglavlju i
u celom kursu o tome šta to znači.
Ali za sada, prihvatimo to
i nastavimo da radimo sa ovom osnovnom jednačinom o samo-sličnoj dimenziji.
U sledećem videu proćićemo kroz još jedan primer.
Izračunaćemo samo-sličnu dimenziju D za još jedan fraktal.
I onda ćete provežbati ovo u par kvizova.