In deze subunit gaan we leren hoe de dimensies
van zekere, wiskundige fractals kunnen bepalen.
Om te beginnen, bekijken we een paar hele eenvoudige vormen.
Lijn segmenten, rechthoeken en vierkanten.
En door die vormen te bekijken, zullen we zien hoe we
ons intuïtieve idee van dimensies kunnen generaliseren
zodat wij die op een paar interessante en belangrijke manieren toe
kunnen passen op fractalen.
Ons startpunt om over dimensies na te denken, is
door te bedenken hoeveel kleine kopietjes van een vorm er
een grote kopie passen.
Ik ga hiervan een tabel maken en deze invullen.
We gaan drie simpele voorbeelden doen.
We beginnen met het denken over lijn segment.
Stel, ik heb een lijn segment dat er zo uit ziet.
En stel dat ik een lijnsegment heb dat drie keer zo lang is.
1, 2, 3...
Nu vraag ik mij af hoeveel van deze kleine lijn segmenten er
binnen dit lijn segment passen, dat drie keer zo lang is.
Het antwoord is drie.
1,2, 3....kleine lijn segmenten
binnen dit grote lijn segment.
Dus voor de vorm van een lijn, is de vergrotingsfactor 3
en het aantal kleinere kopietjes binnen de grotere kopie is 3.
Wat ik met vergrotingsfactor bedoel is, is dat ik een
kleinere kopie drie keer uit moet rekken om net zo lang
te zijn als de grote kopie van het lijn segment.
Dat was het voor wat betreft het lijn segment.
Laten we het nu over een vierkant hebben,
met een zijde van 1 bijvoorbeeld.
En stel dat ik een vierkant met zijde 3 heb.
Dan kan ik vragen hoeveel van deze kleine vierkantjes
hierin passen.
Wanneer ik dat zo inteken, zien we dat er 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9
Negen kleine vierkantjes passen er in het grote vierkant.
Deze tekening is verre van perfect, maar dit vierkantje
heeft dezelfde grote als deze.
Dus er zijn 3 * 3 kleine vierkantjes, negen kleine vierkantjes
die hierin, in dit grote vierkant, passen.
En het grote vierkant is met een factor 3 verhoogd.
Het is met een factor 3 uitgerekt in deze richting en
met een factor 3 in deze richting.
Terug naar de tabel.
De vorm van een vierkant.
Vergrotingsfactor is 3.
Aantal kleine kopietjes die in de grote kopie passen, is 9.
Laten we nog een vorm bekijken.
De kubus; hier is een kleine kubus.
Deze kubus heeft een zijde van 1.
Stel dat ik nu een kubus heb die 3 keer zo groot is.
Beetje lastig om te tekenen.
Hoeveel van deze kleine kubussen, passen in deze kubus?
Laat ik eerst wat lijnen tekenen ter verduidelijking.