En esta subunidad vamos aprender
cómo calcular la dimensión de ciertas fractales matemáticas
Para empezar, consideramos la más simples de las formas
Segmentos lineales, cuadrados y cubos.
Y considerando estas formas.
Nosotros veremos como generalizar nuestra idea intuitiva de dimensión.
Aplicando interesantes e importantes maneras a las fractales.
Nuestro punto de inicio es pensar acerca de la dimensión,
cuantas copias más pequeñas
de una forma encanjan en una copia más grande.
Voy a preparar una tabla aquí y la voy a rellenar.
Vamos hacer tres ejemplos simples.
Para empezar pensaremos en segmentos,
y supondremos que yo tengo un segmento lineal como este.
Después suponemos que yo tengo otro segmento lineal
el cual es de largo tres veces.
Y me pregunto cuantos segmentos pequeños
caben dentro de este segmento.
el cual está estirado por tres. Y la respuesta es 3.
1,2,3 segmentos pequeños,
dentro del segmento mayor.
Entonces para la forma de una linea,
el factor de aumento es de 3,
el numero de copias pequeñas en una copia grande es de 3.
Y por lo cual quiero decir que por un factor de aumento aquí
es lo que yo necesito para tomar una copia pequeña
y aumentarla 3 veces,
estirada 3 veces en esta dirección.
En orden de tener el mismo tamaño
tanto como la forma grande, este segmento lineal mayor
Ok, todo esto para segmentos lineales.
Ahora, vamos a pensar en un cuadrado.
Aquí hay un pequeño cuadrado.
Imagina que este pequeño cuadrado
con un lado de tamaño 1, por ejemplo.
Y después que pasaría si yo tuviese un cuadrado
con el lado de tamaño 3.
Yo puedo preguntarme cuantos de estos pequeños cuadrado caben aquí.
Y si los dibujos tal que así.
Nosotros podemos ver que 1,2,3,4,5,6,7,8,9
9 cuadrados pequeños encajan dentro del cuadrado mayor
Este dibujo a mano alzada no es una idea perfecta
sobre como el tamaño es.
Este cuadrado es del mismo tamaño que este otro.
Así que, hay 3 veces 3
igual a 9 pequeños cuadrado en el cuadrado mayor.
Y el cuadrado mayor está aumentado por un factor de 3
Está estirado por 3 en esta dirección,
3 en esta otra dirección.
Voy a volver a mi tabla
La forma de un cuadrado
aumentado por un factor de 3
numero de copias pequeñas in la copia grade es 9.
Vamos a pensar acerca de una forma más
el cubo.
Aquí tenemos un pequeño cubo,
y este cubo tiene de lado 1.
Y ahora suponemos que tenemos un cubo
el cual es 3 veces más grande.
Es un poco complicado para mi dibujarlo.
Ok, ¿cuantos cubos pequeños caben
dentro the este cubo?
Voy a dibujar algunas lineas
las cuales me permitirán ayudarme
Ok, no es un dibujo perfecto
pero espero que esto lo ilustre.
Vamos a pensar, ¿cuantos de estos pequeños cubos
forman parte del cubo grande?
Bueno, en la capa de arriba hay 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Y después hay otra capa
o porción aquí de 9.
Y otra de 9 aquí en la porción inferior.
9 más 9 más 9 son 27
Hay 27 cubos pequeños in el cubo más grande.
Y el factor de aumento es otra vez de 3.
vamos desde este cubo pequeño o
este cubo pequeño aquí hacia el más grande.
Necesitaré aumentar la figura entera por 3.
Significa que es 3 veces más largo.
3 veces más ancho y 3 veces más alto.
Puedo completar la tabla ahora.
La última figura fue un cubo.
El factor de aumento es de 3, y
el número de copias pequeñas dentro del cubo mayor es de 27.
Vamos a ver
lo que podemos aprender de esta tabla.
La pregunta es cuál propiedad geométrica
o características de estas formas determinan
lo que pasa aquí.
Determinamos cuantas copias pequeñas
van a la copia mayor.
Porque el factor de aumento
para todas estas es el mismo
la respuesta a la pregunta
es la dimensión.
Líneas, cuadrado y cubos
tienen una dimensión diferente y
el número de copias que aparecen aquí son diferentes.
Permitame apuntar esta relación
entre esto y esto usando la dimensión.
Aquí es una ecuación que relaciona
el factor de aumento del número de copias pequeñas
in una copia mayor de la forma.
la ecuación es tal
un número de copias pequeñas es igual
un factor de aumento elevado a la potencia de D.
Y D en la ecuación
es la dimensión de auto-similaridad
Llamaremos a la dimensión para abreviar ahora.
Ya que no hay otra dimensión
alrededor de la que pensar.
Vamos a pensar acerca de esto.
¿Qué es? ¿Qué está diciéndonos?
Vamos a empezar con el cuadrado primero.
El cuadrado tienen un factor de aumento de 3.
y el número de copias pequeñas
en una grande es de 9.
Y entonce ¿cuál D debería ser?
Vamos a volver aquí.
El número de copias pequeñas es 9
y el factor de aumento es 3.
nos preguntamos, ¿cuál es la dimensión?
Bueno, D debería ser 2.
Porque 9 es 3 al cuadrado (elevado a 2).
Vamos a decir que el cuadrado tiene una dimensión de 2.
Y esto tienen sentido.
Esto es consistente con nuestra idea intuitiva de dimensión.
Un cuadrado se ha extendido en 1 y 2 direcciones.
Pensaremos que el cuadrado es 2 dimensional.
Nosotros podemos hacer lo mismo con un cubo,
el cubo primero.
el factor de aumento
el número de copias pequeñas fue determinado en 27.
Esto va a ser el factor de aumento
a la dimensión D.
Y nosotros vemos en este caso.
D es 3. El cubo es 3 dimensional.
Y es consistente con nuestra noción de dimensión.
1,2,3 direcciones para un cubo.
Podemos decir que es 3 dimensional.
Y nosotros podemos hacer lo mismo con una linea.
Esta ecuación es un poco aburrida.
Número de copias pequeñas en el segmento lineal es 3.
Y el factor de aumento es 3.
¿Cuál es el exponente?
Bueno 3 elevado a 1.
Recuerda cuál número elevó a la primera potencia.
Es este número.
Por lo que, x a la 1 es sólo x por ejemplo.
Esto nos dice que la dimensión de una linea es 1.
Volviendo a este dibujo.
Esta es la ecuación clave de esta unidad.
Factor de aumento elevado a D es un número
de copias pequeñas y D es una dimensión.
Esto es quizás una una manera inusual
de pensar acerca de la dimensión.
Pero esto nos dice que
Lineas son 1 Dimensional
Cuadrados son 2 Dimensional
y cuadrados son 3 Dimensional como nosotros esperabamos.
En el próximo video veremos como aplicar esta
idea de dimensión a un fractal.
Pero antes de hacer eso sugeriré hacer
una pregunta para practicar esta fórmula.
para estar seguro que ustedes vean como funciona.