Dans la leçon précédente sur l’harmonie, j’introduis cette idée, ce concept, de transposition dans une échelle particulière. Nous parlons de transposition sur une gamme chromatique, ou de transposition sur une gamme diatonique, et dans cette leçon, nous approfondirons ce concept de transposition dans une échelle, qui s’avère être une base essentielle pour comprendre géométriquement comment l’espace des tons (ou hauteurs) fonctionne dans le contexte des traditions musicales. Et bien sûr, ici, nous nous concentrerons surtout sur l’harmonie tonale de la tradition classique occidentale. Nous pouvons transposer dans différentes échelles, et transposer dans une gamme, ou une gamme intrinsèque à laquelle un accord appartient, nous permet de trouver le mouvement le plus efficient entre un accord et un autre. Et cela s’appelle, en théorie musicale, le « voice leading », ou la conduite des voix la plus efficiente. Cela se rapporte à la manière dont nous nous mouvons sur un clavier, par exemple, avec nos doigts, et nous cherchons toujours la manière la plus efficace de passer d’un accord à un autre, en bougeant le moins de doigts possible. Un point fondamental ici est que toute échelle de notes, qu’il s’agisse d’accords, de motifs, d’ensembles ou de gammes, peut être associée, en principe, à deux gammes différentes. La première est la gamme externe, ou "gamme englobante". Elle peut être chromatique, diatonique, ou toute autre échelle de hauteurs que nous définissons comme une gamme. L’autre est ce que nous appelons la "gamme intrinsèque", la gamme formée par les notes mêmes de la collection dont nous partons. Ainsi, dans un accord, les notes de l'accord constituent la gamme intrinsèque de cet accord. On peut représenter cela graphiquement, avec un diagramme où l’on part des degrés d’accord, en haut de la figure que l’on projette sur une gamme intrinsèque, puis sur une gamme réelle, une gamme externe, et enfin sur l’ensemble complet des hauteurs possibles. Dans notre tradition à douze tons, cela correspond à la gamme chromatique. Les chiffres visibles sur l’image peuvent sembler confus ; ils servent en fait à construire un algorithme permettant d’agir sur tous ces niveaux et toutes ces échelles. Cet algorithme est intégré dans la bibliothèque musicntwrk, et j’en dirai quelques mots à la fin de cette leçon, concernant son implémentation Parlons maintenant de la transposition dans une échelle. La transposition sur l’accord et celle sur la gamme se combinent pour former un mouvement parallèle, un double mouvement parallèle dans des échelles imbriquées. Je comprends que ces notions peuvent sembler complexes dans une courte leçon comme celle‑ci, mais je vous invite à consulter les textes de référence d’où proviennent ces idées : « Tonality: An Owner’s Manual » de Dmitri Tymoczko, ainsi que ses présentations disponibles sur le site web. Formalisons maintenant cette idée de double transposition avec quelques notations et opérations. J’introduis trois opérateurs différents : tx, qui est une transposition dans l'accord, d'un certain nombre de degrés, comme expliqué dans la leçon d'harmonie, où j'explique brièvement ce que signifie transposer sur l'accord. Ensuite, nous avons la transposition dans une gamme donnée. Par example, si j’ai un accord de do majeur do, mi, sol situé dans la gamme de do majeur, do, ré, mi, fa, sol, la, si je transpose dans cette gamme avec l'opérateur Tx, où x est le nombre de degrés choisis. Enfin, au niveau le plus élevé, nous avons le Tx en gras, qui correspond à la transposition dans la collection chromatique. Ainsi, je peux transposer ma gamme sur l'échelle chromatique puis transposer l'accord dans la gamme ce qui crée tout un mouvement de conduite des voix dans la pièce. Ce qui devient utile et éclairant selon moi, c’est de représenter ces opérations graphiquement grâce à ce que nous appelons des diagrammes en spirale. Un diagramme en spirale permet de visualiser toutes ces transpositions dans une seule image, un seul cadre, où tout est décrit de façon graphique. Pour construire cet espace, car il représente l'espace où ces opérations se déploient, nous créons ce que nous appelons des spirales. Ces diagrammes en spirales proviennent du tracé même de spirales, qui offrent une manière d’unir accords et gammes, afin de visualiser et générer diverses progressions d'accords. Le nombre de boucles d’une spirale correspond à la taille de l’accord, c’est‑à‑dire au nombre de notes qu’il contient. Avec deux notes, on trace une spirale où n=2, avec deux boucles. Avec une triade, un accord à trois notes, on trace une spirale à trois boucles, et ainsi de suite. Pour tracer cela, on part de midi, puis on avance vers l'intérieur, dans le sens horaire. Après avoir fait n boucles, dépendamment du nombre de notes, on s'arrête à neuf heures, puis on relie le point de départ. Ainsi, comme on le voit sur l'image, on part de midi, on tourne vers l’intérieur jusqu’à neuf heures, puis on relie pour former la spirale à deux boucles. Ceci constitue le squelette du diagramme en spirale. Il faut ensuite le peupler avec des notes ou des accords. Il faut distinguer ici le nombre de notes d'un accord du nombre de notes dans la gamme. Parlons des notes de la gamme. Si la gamme contient k notes, je divise le cercle en k sections, qui interceptent la spirale à intervalles réguliers. Je pars de midi, j’avance dans le sens horaire, et je place un point à chaque nième intersection. Voici la méthode. Sur l'image à gauche, je veux construire le diagramme en spirale de triades majeures. J'ai donc un accord à trois notes, sur une gamme diatonique de sept notes. Par exemple, l’accord de do majeur do, mi, sol, trois notes, placé sur la gamme de do majeur, sept notes. Alors, ce que je fais, je commence à midi, je trace sept sections, puis je place les accords correspondant aux notes fondamentales. Donc pour do majeur, c'est do, ré, mi, fa, sol. Pour l'accord mineur dans la gamme diatonique de do majeur, nous avons do, etc. Je pars du point intérieur à midi, puis je place les notes de la gamme sur chaque point en ordre décroissant, et ces points sont séparés les uns des autres par le nombre de notes dans l'accord. Ainsi, toutes les trois sections, j’inscris une note pour remplir la spirale. Dans l’image, je commence avec do sur la boucle interne, j’ignore les deux premières intersections, et sur la troisième intersection, je place ensuite le si. Puis, j’en saute deux autres pour placer le la, et je poursuis ainsi jusqu’à remplir tout le diagramme. L’important ici est que chaque point représente un accord complet : même si je place juste la, si ou do, dans ce diagramme, chaque note désigne l’accord associé. Do renvoie donc à do‑mi‑sol, l’accord de do majeur, et ainsi de suite. On peut faire cela pour n’importe quel chiffre arbitraire de note, ou n'importe quelle gamme. À droite, par exemple, on voit toutes les gammes diatoniques à sept sons intégrées dans la structure chromatique, ce qui donne sept boucles et douze sections. L’intérêt de ces diagrammes est qu'ils permettent de calculer toutes les conduites de voix possibles existant entre les accords de cette échelle, dans cette gamme donnée. Cela peut se faire de manière géométrique. Par exemple, on peut calculer la trajectoire allant de la triade de do à celle de mi sur la gamme chromatique, représenté par une trajectoire dans la spirale. La flèche en gras montre la trajectoire suivie. À droite, on voit le résultat de cette trajectoire, qui correspond bien à la conduite de voix la plus efficace pour passer de do majeur à mi majeur. Les diagrammes en spirale permettent aussi de décomposer des progressions d’accords. Ici, on voit le passage d'un accord de do majeur à un accord de si majeur, indiqué par la ligne en gras à droite, mais on peut le décomposer en suivant d’autres trajectoires dans la spirale. Par exemple, au lieu d’aller de do à si puis à si♭, je peux passer de do à mi♭ avant d’atteindre si♭, en utilisant cette autre trajectoire ce qui crée une conduite de voix différente. Je peux faire cela de façons multiples. C’est donc une manière graphique de montrer comment la double transposition, sur l’accord et sur la gamme, génère des progressions harmoniques spécifiques. Cela fonctionne car les transpositions, sur l'accord comme sur la gamme, respectent les propriétés commutative et associative, mathématiquement, ce qui permet d’inverser l’ordre des opérations sans changer le résultat final. Grâce aux diagramme en spirales, on peut visualiser en pratique toutes les progressions de la tradition tonale de la musique occidentale. Voici une autre représentation du diagramme des triades, et je souhaite souligner que la géométrie de ces spirales permet de définir une distance entre accords, certains étant plus proches ou plus éloignés, et d’introduire la notion d’« entre‑deux », que l'on peut appliquer à des mouvements plus petits et des conduites de voix plus conséquentes. Tout cela reste entièrement générique : ce n'est lié à aucun type d'accord précis. On peut partir de triades majeures, d'accords mineures, d’accords diminués, de clusters, peu importe ; la géométrie reste valable et les opérations fonctionnent toujours. On peut donc construire des espaces harmoniques très complexes simplement en manipulant graphiquement ces diagrammes en spirale. Ces opérations sont implémentées dans la bibliothèque musicntwrk, via une classe nommée « MIDIset », présentée à la fin du notebook sur l'harmonie. Je ne développe pas cela ici, mais vous pouvez vous y exercer si vous voulez explorer ces transpositions et spirales par vous-même. Vous trouverez un résumé des attributs et méthodes implémentés dans la classe MIDIset. Cela dépasse sans doute le niveau attendu du cours, et je laisse donc ces détails aux personnes les plus curieuses ou à l'aise avec l'informatique.