Dans la leçon précédente sur l’harmonie,
j’introduis cette idée, ce concept,
de transposition
dans une échelle particulière.
Nous parlons de transposition
sur une gamme chromatique,
ou de transposition sur une
gamme diatonique,
et dans cette leçon,
nous approfondirons ce concept
de transposition dans une échelle,
qui s’avère être une
base essentielle pour comprendre
géométriquement comment
l’espace des tons (ou hauteurs) fonctionne
dans le contexte des traditions musicales.
Et bien sûr, ici,
nous nous concentrerons surtout
sur l’harmonie tonale de la
tradition classique occidentale.
Nous pouvons transposer dans
différentes échelles,
et transposer dans une gamme,
ou une gamme intrinsèque
à laquelle un accord appartient,
nous permet de trouver le
mouvement le plus efficient
entre un accord et un autre.
Et cela s’appelle, en théorie musicale,
le « voice leading », ou
la conduite des voix la plus efficiente.
Cela se rapporte à la manière dont
nous nous mouvons sur un
clavier, par exemple, avec nos
doigts, et nous cherchons
toujours la manière la plus efficace
de passer d’un accord
à un autre, en bougeant le
moins de doigts possible.
Un point fondamental ici est que
toute échelle de notes,
qu’il s’agisse d’accords,
de motifs, d’ensembles ou
de gammes, peut être associée,
en principe, à deux gammes différentes.
La première est la gamme
externe, ou "gamme englobante".
Elle peut être chromatique,
diatonique, ou toute autre
échelle de hauteurs que
nous définissons comme une gamme.
L’autre est ce que nous
appelons la "gamme intrinsèque",
la gamme formée par les
notes mêmes de la collection dont
nous partons.
Ainsi, dans un accord,
les notes de l'accord constituent
la gamme intrinsèque de cet accord.
On peut représenter cela
graphiquement, avec un
diagramme où l’on part des degrés
d’accord, en haut de la figure
que l’on projette sur une gamme
intrinsèque, puis sur une gamme
réelle, une gamme externe,
et enfin sur l’ensemble complet
des hauteurs possibles.
Dans notre tradition à douze tons,
cela correspond à la gamme chromatique.
Les chiffres visibles sur l’image
peuvent sembler confus ; ils servent
en fait à construire un algorithme
permettant d’agir sur tous
ces niveaux et toutes ces échelles.
Cet algorithme est intégré
dans la bibliothèque musicntwrk,
et j’en dirai quelques mots à la fin de
cette leçon, concernant son implémentation
Parlons maintenant de
la transposition dans
une échelle. La transposition
sur l’accord et celle sur la gamme
se combinent pour former
un mouvement parallèle, un double
mouvement parallèle
dans des échelles imbriquées.
Je comprends que ces notions
peuvent sembler complexes
dans une courte leçon comme celle‑ci,
mais je vous invite à consulter
les textes de référence
d’où proviennent ces idées :
« Tonality: An Owner’s Manual »
de Dmitri Tymoczko, ainsi que
ses présentations disponibles
sur le site web.
Formalisons maintenant cette idée
de double transposition
avec quelques notations et opérations.
J’introduis trois opérateurs différents :
tx, qui est une transposition dans
l'accord, d'un certain nombre
de degrés, comme expliqué dans
la leçon d'harmonie, où j'explique
brièvement ce que signifie transposer
sur l'accord.
Ensuite, nous avons la transposition
dans une gamme donnée. Par example,
si j’ai un accord de do majeur
do, mi, sol situé dans la gamme
de do majeur, do, ré, mi, fa, sol, la, si
je transpose dans cette gamme avec
l'opérateur Tx, où x est
le nombre de degrés choisis.
Enfin, au niveau le plus élevé,
nous avons le Tx en gras,
qui correspond à la transposition dans la
collection chromatique.
Ainsi, je peux transposer
ma gamme sur l'échelle chromatique
puis transposer l'accord dans la gamme
ce qui crée tout un mouvement
de conduite des voix dans la pièce.
Ce qui devient utile et éclairant
selon moi, c’est de représenter
ces opérations graphiquement grâce à
ce que nous appelons des diagrammes
en spirale.
Un diagramme en spirale
permet de visualiser toutes
ces transpositions dans une
seule image, un seul cadre,
où tout est décrit de façon graphique.
Pour construire cet espace,
car il représente l'espace
où ces opérations se déploient,
nous créons ce que nous appelons
des spirales.
Ces diagrammes en spirales proviennent
du tracé même de spirales,
qui offrent une manière
d’unir accords et gammes,
afin de visualiser et générer
diverses progressions d'accords.
Le nombre de boucles d’une spirale
correspond à la taille de l’accord,
c’est‑à‑dire au nombre de notes
qu’il contient.
Avec deux notes, on trace une spirale
où n=2, avec deux boucles.
Avec une triade, un accord à trois notes,
on trace une spirale à trois boucles,
et ainsi de suite.
Pour tracer cela, on part de midi,
puis on avance vers l'intérieur, dans le
sens horaire. Après avoir fait n boucles,
dépendamment du nombre de notes,
on s'arrête à neuf heures, puis on relie
le point de départ.
Ainsi, comme on le voit sur l'image,
on part de midi, on tourne
vers l’intérieur jusqu’à neuf heures,
puis on relie pour former
la spirale à deux boucles.
Ceci constitue le squelette
du diagramme en spirale. Il faut ensuite
le peupler avec des notes ou des accords.
Il faut distinguer ici le nombre de notes
d'un accord du nombre de notes
dans la gamme. Parlons des notes
de la gamme. Si la gamme contient k notes,
je divise le cercle en k sections,
qui interceptent la spirale à
intervalles réguliers.
Je pars de midi, j’avance dans le sens
horaire, et je place un point
à chaque nième intersection.
Voici la méthode. Sur l'image à gauche,
je veux construire le diagramme en spirale
de triades majeures. J'ai donc un accord
à trois notes, sur une gamme diatonique
de sept notes.
Par exemple, l’accord de do majeur
do, mi, sol, trois notes, placé sur
la gamme de do majeur, sept notes.
Alors, ce que je fais, je commence à midi,
je trace sept sections,
puis je place les accords correspondant
aux notes fondamentales. Donc pour
do majeur, c'est do, ré, mi, fa, sol.
Pour l'accord mineur dans la gamme
diatonique de do majeur,
nous avons do, etc.
Je pars du point intérieur à
midi, puis je place les notes
de la gamme sur chaque point en ordre
décroissant, et ces points sont séparés
les uns des autres par le nombre
de notes dans l'accord.
Ainsi, toutes les trois
sections, j’inscris une note
pour remplir la spirale.
Dans l’image, je commence
avec do sur la boucle interne,
j’ignore les deux premières intersections,
et sur la troisième intersection,
je place ensuite le si.
Puis, j’en saute deux autres
pour placer le la, et je poursuis
ainsi jusqu’à remplir tout le
diagramme.
L’important ici est que
chaque point représente un
accord complet : même si je place
juste la, si ou do, dans ce diagramme,
chaque note désigne l’accord associé.
Do renvoie donc à do‑mi‑sol,
l’accord de do majeur, et
ainsi de suite.
On peut faire cela pour
n’importe quel chiffre arbitraire de note,
ou n'importe quelle gamme.
À droite, par exemple, on voit toutes les
gammes diatoniques à sept
sons intégrées dans la
structure chromatique, ce
qui donne sept boucles
et douze sections.
L’intérêt de ces diagrammes est qu'ils
permettent de calculer
toutes les conduites de
voix possibles existant entre les
accords de cette échelle,
dans cette gamme donnée.
Cela peut se faire de manière géométrique.
Par exemple, on peut calculer la
trajectoire allant de la triade
de do à celle de mi
sur la gamme chromatique, représenté
par une trajectoire dans la spirale.
La flèche en gras montre
la trajectoire suivie.
À droite, on voit le résultat
de cette trajectoire,
qui correspond bien
à la conduite de voix la plus efficace
pour passer de do majeur à mi majeur.
Les diagrammes en spirale
permettent aussi de décomposer
des progressions d’accords.
Ici, on voit le passage d'un accord
de do majeur à un accord de si majeur,
indiqué par la ligne en gras
à droite, mais on peut le
décomposer en suivant
d’autres trajectoires dans la spirale.
Par exemple, au lieu d’aller
de do à si puis à si♭,
je peux passer de do à mi♭
avant d’atteindre si♭, en utilisant cette
autre trajectoire ce qui crée une conduite
de voix différente. Je peux faire cela
de façons multiples.
C’est donc une manière graphique
de montrer comment la double
transposition, sur l’accord
et sur la gamme, génère des
progressions harmoniques spécifiques.
Cela fonctionne car les transpositions,
sur l'accord comme sur la gamme,
respectent les propriétés
commutative et associative,
mathématiquement, ce qui permet d’inverser
l’ordre des opérations sans
changer le résultat final.
Grâce aux diagramme en spirales, on peut
visualiser en pratique toutes les
progressions de la tradition tonale
de la musique occidentale.
Voici une autre représentation du
diagramme des triades, et je
souhaite souligner que la
géométrie de ces spirales
permet de définir une
distance entre accords,
certains étant plus proches
ou plus éloignés, et d’introduire
la notion d’« entre‑deux »,
que l'on peut appliquer à des mouvements
plus petits et des conduites de voix
plus conséquentes.
Tout cela reste entièrement générique :
ce n'est lié à aucun type d'accord précis.
On peut partir de triades majeures,
d'accords mineures, d’accords diminués,
de clusters, peu importe ; la géométrie
reste valable et les opérations
fonctionnent toujours.
On peut donc construire des
espaces harmoniques très
complexes simplement en
manipulant graphiquement
ces diagrammes en spirale.
Ces opérations sont implémentées dans
la bibliothèque musicntwrk,
via une classe nommée « MIDIset »,
présentée à la fin du notebook
sur l'harmonie.
Je ne développe pas cela ici,
mais vous pouvez vous y exercer si
vous voulez explorer ces transpositions
et spirales par vous-même.
Vous trouverez un résumé des attributs
et méthodes implémentés dans la classe
MIDIset.
Cela dépasse sans doute le niveau
attendu du cours, et je laisse donc
ces détails aux personnes les
plus curieuses ou à l'aise
avec l'informatique.