Dans les unités précédentes,
nous avons exploré comment, en utilisant,
d’une certaine façon, des règles et
des schémas mathématiques,
nous pouvons construire des compositions
qui présentent une unité esthétique
et un sens musical. À présent,
nous devons avancer, affiner certains
de ces concepts, et introduire davantage
l’idée de simultanéité des sons qui,
dans le langage musical, correspond à
l’harmonie. L’harmonie sera l’un, si ce
n’est le plus important, des aspects
de la musique que nous examinerons
du point de vue de la complexité
et de la théorie de la complexité.
Le concept de base en harmonie est l’idée
d’accords. Un accord est une combinaison
de notes assemblées verticalement,
c’est‑à‑dire qu’elles sonnent
simultanément, et nous pouvons entendre
ici un accord joué au clavier :
c’est une triade de do majeur — c’est une
combinaison de trois notes — jouées
les unes au‑dessus des autres.
Démonstration
Ceci est un exemple d’accord
à trois notes, appelé triade, mais
bien sûr on peut combiner autant
de notes qu’on le souhaite dans
un accord. Mais dans la tradition
de la musique classique occidentale,
la triade elle‑même est un concept
fondateur dans l’idée et la théorie
de l’harmonie. Ainsi, les triades
peuvent être construites à partir
de toutes les notes d’une gamme.
Nous avons vu plus tôt le concept
de la gamme, nous avons observé
comment construire des gammes
également dans les notebooks.
Chaque gamme, chaque note d’une gamme
peut servir de fondation pour un accord
sur cette note particulière, et vous
voyez donc sur cette image par exemple,
toutes les triades que l’on peut
construire sur une gamme de do majeur.
Démonstration
Bien sûr, on peut avoir plus que
trois notes : on peut en avoir quatre,
cinq ou davantage. Dans des situations
plus complexes, dans la musique plus
moderne, on peut avoir un empilement
de nombreuses notes dans
des dimensions plus élevées.
Nous voulons explorer cet espace
harmonique. Étant donné les notes
dont nous disposons, les hauteurs
du tempérament égal, les 12 hauteurs de
la gamme tempérée, nous voulons
comprendre, ou mesurer, combien
d’accords nous pouvons construire,
par exemple en utilisant des permutations
et combinaisons de dimensions différentes.
Nous pouvons donc construire
un dictionnaire de toutes les
combinaisons possibles de notes,
des combinaisons verticales de notes entre
une dimension de, disons, 2. C’est la
superposition minimale de 2 notes
jouées simultanément, voire
1, comme l’unisson, et 12 correspondrait à
l’ensemble des hauteurs dont nous
disposons dans la gamme. Si nous
tentons de construire un dictionnaire,
ou une sorte de mesure du nombre
de ces combinaisons possibles,
alors nous obtenons une mesure
du nombre d’accords pouvant exister,
étant donnée la matière première :
nos notes, nos hauteurs dans la gamme.
Ainsi, dans un espace de 12 sons,
nous avons un nombre d’accords
constructibles de l’ordre de 4'000.
Et ce nombre, j’expliquerai
dans un instant comment
on peut en réalité le réduire à
des unités minimales,
les combinaisons minimales
de hauteurs ; mais si nous étendons
cela à un tempérament où, au lieu d’avoir
12 hauteurs, nous en avons 24 — donc
si nous introduisons l’idée, par exemple,
de quarts de dièse et de quarts de
bémol — alors nous obtenons
16 millions de combinaisons différentes
d’accords. Et si nous regardons
un clavier, un clavier de 88 touches,
et que nous essayons d’évaluer
combien de combinaisons de touches
nous pouvons construire, alors nous
obtenons un nombre plus grand
que le nombre d’atomes contenus
dans un centimètre cube
de matière. Je veux dire : 10 puissance
26 accords différents.
Cet espace combinatoire très vaste
peut être réduit par des opérations
qui prennent en compte
l’équivalence des hauteurs,
de sorte que chaque do du clavier
est en réalité une seule et même
entrée dans ce large espace combinatoire.
Nous pouvons réduire les accords
par transpositions et inversions
et introduire toutes ces opérations
mathématiques sur les accords
dont nous avons discuté dans
les unités précédentes.
Cet immense espace que nous avons
construit avec toutes ces possibilités
combinatoires peut être réduit en
utilisant des opérations sur les hauteurs
de nos accords que nous avons
introduites dans les unités précédentes.
Ici, par exemple, je réintroduis ou
montre à nouveau toutes les opérations
possibles que l’on peut effectuer
sur une hauteur — ou plutôt sur
un accord, c’est‑à‑dire sur une
collection de hauteurs, un ensemble
de classes de hauteurs
comme on l’appelle en théorie
musicale moderne — et toutes
ces opérations réduisent cet
immense espace combinatoire
à des unités minimales. Mais cela reste
malgré tout un espace combinatoire
énorme. Les quatre opérations qui sont
fondamentales dans la théorie
musicale contemporaine, ou du moins
dans la théorie des ensembles
de hauteurs, sont : l’équivalence d’octave
donc le fait que toutes les octaves
sont équivalentes : peu importe
si l’on est dans une octave plus haute ou
plus basse, un do reste un do.
Puis les permutations : je peux permuter
les notes dans un accord,
ce qui correspond au même
ensemble dans notre espace, même si
du point de vue de la théorie musicale
cela peut être discutable —
mais nous n’entrerons pas
dans ces détails à ce stade.
Une autre opération très importante est
la transposition : je peux transposer
mes hauteurs par un décalage constant,
une unité constante, et ainsi passer
d’un accord à un autre simplement
en décalant toutes les hauteurs
d’une même quantité.
Et puis il y a l’inversion, qui est une
opération très particulière dans
un ensemble de classes de hauteurs,
où, en termes de perception musicale,
l’inversion est l’opération qui
transforme une triade majeure en triade
mineure. Par exemple,
inverser un do majeur
et un do mineur.
Passer de l’un à l’autre est une
opération d’inversion.
Démonstration
Dans cette diapositive, nous partons d’une
collection de hauteurs : ici, il s’agit
simplement d’une collection
de sept hauteurs, et en utilisant
seulement les hauteurs de la gamme,
nous pouvons construire toutes
ces séquences d’accords,
et vous voyez ici différentes triades, où
les hauteurs sont combinées pour former
l’harmonie de cette gamme. C’est
un concept important dans ce
que nous appelons
l’harmonie traditionnelle ou la musique
tonale, où la gamme nous fournit
ce type de cadre permettant
de définir aussi les progressions
harmoniques au sein de cette collection
de hauteurs.
La bibliothèque avec laquelle
nous avons travaillé,
en particulier la classe Note
que nous avons introduite dans
les notebooks précédents,
possède une méthode appelée
« Harmonize ». Harmonize est
une méthode qui, étant donnée une gamme,
un intervalle particulier,
et le nombre de hauteurs souhaité,
produit une collection de triades.
Et vous pouvez essayer cela
dans votre notebook associé
à ce module. Dans cette classe
et méthode de la classe Note,
"scale" est une gamme de notes ; nous
pouvons décider du nombre de notes que
nous voulons dans
cette gamme particulière.
"Interval" définit l’espacement entre
les notes de l’accord — donc si vous
voulez une triade régulière, vous
aurez 2/3 — et nous pouvons construire
toute combinaison désirée.
Et ensuite, "Size" est
le nombre de hauteurs dans l’accord.
Vous pouvez explorer toutes ces fonctions
dans le notebook associé à ce module.
Il existe ici des concepts qui sont
fondamentaux pour la théorie
musicale moderne, et l’un d’eux
est le concept de transposition
appliquée à l’harmonisation
d’une gamme. Nous pouvons
transposer nos accords, comme je vous
l’ai montré plus tôt : l’opération
de transposition consiste à
déplacer tout l’accord, toutes
les hauteurs d’un accord,
d’une quantité constante
en termes absolus. Je peux donc définir
une transposition sur toutes les hauteurs
chromatiques en ajoutant, par exemple,
un demi‑ton à chaque note de l’accord.
Mais je peux aussi effectuer
une transposition où mon système
de référence n’est pas
la gamme chromatique, mais la gamme
elle‑même. Ainsi, dans ce cas,
je transpose ou déplace toutes
les hauteurs d’une quantité
particulière, relative à la gamme
et non à l’agrégat chromatique.
Ce sont les deux modes
de transposition qui sont codés
dans la classe Note. Le premier est la
transposition dite régulière,
où j’ajoute un nombre constant
de demi‑tons à toutes les hauteurs
de l’ensemble. Ainsi, si je pars
d’un accord de do majeur
0‑4‑7, do‑mi‑sol, j’ajoute un demi‑ton
et j’obtiens do♯, fa et la♭.
Nous appelons cela la transposition
dans l’agrégat. La transposition tonale
est au contraire la transposition dans
la gamme. Cela signifie que si je suis
en do majeur, les seules hauteurs
accessibles lors de la transposition
sont celles qui appartiennent à
cette gamme. Ainsi, dans ce cas,
au lieu de transposer par un demi‑ton, ici
je transpose d’un degré dans la gamme et
je passe de do‑mi‑sol à ré‑fa‑la —
c’est une transposition dans la gamme.
Il existe un troisième mode,
associé à l’accord lui‑même, que l’on
peut situer dans l’idée de transposition
à l’intérieur de la collection. On peut
donc transposer selon différentes
combinaisons de hauteurs : selon
l’échelle chromatique, selon
la gamme diatonique régulière, ou
selon la gamme interne à l’accord.
Tous ces concepts sont
centraux dans les travaux
de mon ami et collègue
Dmitri Tymoczko
de l’Université de Princeton
qui interviendra dans ce cours
dans les prochains modules.