接下来我们更进一步探讨元胞自动机作为动力系统
与逻辑映射之间的类比
这里将就各个特性逐项进行对比
在逻辑映射中我们有如下方程
其中 x 在 t+1 时刻的值为某个函数 f 在时间 t 时的值
这是我们所熟悉的方程
类似地，对基本元胞自动机及其它类型元胞自动机
我们有由黑白元胞格状结构所表示的状态世界 lattice
在 t+1 时刻的黑白元胞格状结构 lattice_{t+1}
是关于前一时刻黑白元胞格状结构 lattice_{t} 的函数
此处，这个函数可以用（ECA）规则来表示：
根据邻居元胞来决定如何更新中心元胞
不论逻辑映射还是基本元胞自动机都是完全确定的
没有涉及随机性
两者都进行离散次数的迭代
在逻辑映射中的状态是连续的
其中 x 的值是一个实数
然而在元胞自动机中，状态是离散的
lattice 的值是一个黑白元胞的序列
逻辑映射的动力学经历从不动点到周期变化再到混沌的变迁
我们可以看到所有可能的动力学
类似地，在元胞自动机，尤其是基本自动机中
我们可以看到相同的动力学：不动点、周期变化、混沌等
在逻辑映射中，存在着一个“控制参数” R
当我们从 0 到 4 变化 R 的值
会发现系统的动力学始于某个不动点
然后经历一个周期性的振荡
再经历过一个双路径时期，最后变成混沌状态
那么，对基本的或其它类型的元胞自动机而言，它们的控制参数是什么呢？
显然，不是 “Wolfram 数”
“Wolfram 数”无法“下达”元胞自动机行为对应的命令
元胞自动机的行为是随机的（有任意性）
因此，研究者们开始思考什么才是起类似于 R 作用的控制参数
当你增加 R 的值，你将经历这些不同的动力学行为
Chris Langton 是一个复杂系统科研工作者，他对元胞自动机有过深入的研究
他提出用“λ 参数”作为元胞自动机的控制参数
对于我们刚接触过的二元状态元胞自动机，每个元胞非黑即白
λ 可定义为规则表的输出中黑色元胞所占的比例
这样，举例来说，给定如下所述的规则表
我们可以统计输出状态列的8个输出元胞中
共有1,2,3,4,5个为黑色
因此，这里 λ 为 5/8
因此，这是一个相当简单的定义
但是 Langton 的工作表明在某些场景下，元胞自动机中 λ 参数的值
可作为其行为的一个相当好的预测器
Langton 的假设是在给定 λ 参数下元胞自动机的
典型行为将遵循如下坐标轴所示的规则
在 λ 值很低时的行为为不动点
随着 λ 值增加，我们可以看到周期性的以及混沌的行为
当然，因为元胞自动机有两个状态：黑和白
他们是对称的，比如说 λ 为 0 （此时意味着所有白色处于不动点状态）
基本上等价于 λ 为1 （此时所有黑色处于不动点）
因此，如果你在更新后的状态中转换黑、白颜色
你将得到颜色发生转换后的相同的或等价的行为
这里所表现出的对称性和 R 有所不同
Landton 进行了广泛的仿真实验来检验他的假设
结果发现对邻居数目大于 3 的非基本的元胞自动机
λ 都是一个很好的行为预测器
我们接下来将利用霍巴特威廉史密斯学院数学系所开发的应用程序
来观察 λ 和元胞自动机行为两者之间的关系
这个链接在课程资料页面也能找到
在这个页面你可以启动JAVA 小程序观看混沌边缘模拟
它提供了一些复杂选项供你选择使用
以简单起见，我将建立一个新的世界
状态数设为2，即黑和白
邻居范围为5
因此，每个元胞都可以和每边两个元胞通信
因此，这仍然是个一维元胞自动机
我们将发现（在这个元胞自动机中），任何规则将是等向性的
你可以从Web站点上了解更进一步的信息
这只是意味着：我们将使用最一般性的规则，世界是循环的，等等
好了，我们来创建一个世界
接下来我们能做的就是滑动 λ 参数对应的滑动条
此时，当 λ 为 0 时，这是个随机的初始配置，你将很难推测更新状态会是怎样的
好了，我们重复刚才的动作，创建一个新的随机世界
这个新世界又创建一个新的随机配置，如此往复
所以，我们可以滑动增大 λ 的值来看它如何改变系统状态
开始时所有白色块都处于不动点状态，然后缓慢移动 λ 滑动条，看系统状态如何变化
每当我改变 λ 参数的值时，模拟程序所做的事情就是选择一个对应于该 λ 值的新的元胞自动机
当然，会有多个具有相同 λ 值的元胞自动机，模拟器只是随机选择一个
现在，系统开始进入周期性行为状态
接下来，仍然是周期性行为
也许有点复杂
然后，继续向右滑动滑动条……好了
一个有趣的、或许更有趣的事是……
让我想想……呃……“始于一个点”的模式
即自一个黑色的点衍生出来的模式
我继续滑动滑动条来增加 λ 的值，（系统）仍然是处于周期性行为中
接下来我将做些更复杂的事情
这看起来有点像一个随机的或混沌的模式
我把滑动条移动得使 λ 增大一点点，一直到……
使得λ 的值不再小。现在系统看起来确实很随机
你们也可以实践一下
Langton 所做的……就是我们刚才所演示的内容
并做了一系列广泛的实验
观察在不同 λ 值下元胞自动机的随机选择情况
发现 λ 能很好地预测将要看到的动力学类型
也许，对一个元胞自动机而言，可能某些初始配置会导致与其它初始配置所不同的行为
然而，Langton 所关注的是平均而言系统的行为情况
需要再提一下的是，这里我在使用“混沌”这个词时可能有点不够严谨
究竟在何种程度下，这种看起来随机的行为事实上是混沌的呢？
也就是说，系统行为是否对初始条件（配置）比较敏感呢？
呃，Norman Packard 研究发现……他所做的是……
他对不同的元胞自动机进行了观察
此处是有 7 个邻居元胞的自动机，即每个元胞往左或右观察 3 个相邻元胞
对每一个 λ 值，Norman 测试了随机选择的多个对应该 λ 值、但初始配置随机的元胞自动机
他对初始条件灵敏度指标——差异传播率均值进行了计算
基本上，对于同一个元胞自动机
如果你以相近的初始条件来运行它，比如只有一位的差异
一个黑色元胞变成白色
然后观察这两个不同初始条件下，元胞自动机行为发生改变的速度有多快
这里有一个该指标的测量结果
Packard 将结果以 λ 的函数的形式绘制成曲线图
在这个位置（曲线的起始段）系统行为非常规整（即非混沌的）
从这里开始（曲线的左上升段），系统行为开始向更混沌的状态迁移
这里（曲线的中段），系统行为已处于混沌状态，对系统初始配置变得敏感
事实上，此处确实发生了Langton 所假设的行为
Packard 在他的实验中显示了这一点
Packard 称这片区域为“混沌的边缘”(Edge of Chaos)
也就是说，系统行为并不规整，但也不完全混沌
这大致对应于Wolfram 的第 4 类（自动机）
即那些具有长期局部结构的元胞自动机，比如在规则110 下的自动机
总体来说，元胞自动机可被视为具有不同类型吸引子，如不动点、周期性、混沌以及混沌边缘等，的动力系统
他们对应于Wolfram 的第 4 类自动机
Langton 的 λ 参数作为一种“控制参数”，它能对吸引子的类型进行大致预测
其它学者也有提出基于 λ 的“控制参数”，在某些情况下甚至能更好地预测吸引子类型
“生命游戏”属于Wolfram 的第 4 类自动机
它具备Wolfram 所列的第 4 类自动机的所有属性
Wolfram 猜测第 4 类元胞自动机具备进行通用计算的能力
这也是我们下一个学习单元将要探讨的内容