Der Log. einer Nummer x (auf der Basis 10 berechnet)
bedeutet dass 10 hoch "einer bestimmten Nummer" gleich x ist.
Zum Beispiel, der Log. von 10 (auf der Basis 10) ist gleich 1,
weil 10 hoch 1 ist gleich 10.
Ebenso, ist log zur Basis 10 von 100 gleich 2, weil 10 hoch 2 ist gleich 100.
Log Basis 10 von 1000 ist 3, weil 10 hoch 3 ist gleich 1000.
Und log zur Basis 10 von, sagen wir 10 hoch 4,
...naja...das muss ja dann 4 ergeben...Duh!
Wir können das auch mit ganz anderen Zahlen machen,
z.B., log zur Basis 10 von 3,...Und, das ergibt 0.47712, und andere Dezimalstellen.
Der Grund; 10 hoch 0.47712 ist gleich 3...
Prüft es auf dem Taschenrechner.
Wir können auch eine andere Basis für den Log. aussuchen, sowie die Basis 2.
Zum Beispiel, log zur Basis 2 von 2 ist 1,
weil 2 hoch 1 gleich 2 ist,
Log zur Basis 2 von 4 ist 2...
weil 2 hoch 2 gleich 4 ist.
Log zur Basis 2 von 8 ist 3, dasselbe Prinzip...
...und so weiter.
Wir können den Log. einer Bruchzahl nehmen
Log zur Basis 10 von 1/10 ist gleich -1
weil 10 hoch -1 ist, per Definition, 1/10.
Log zur Basis 10 von 1/100 ist -2...
...weil 10 hoch -2 ist gleich 1/100.
Log zur Basis 2 von 1/4 ist -2...
...weil 2 hoch -2 ist gleich 1/4.
Log zur Basis 2 von 1/8 ist -3, usw.
Generell benutzten wir die folgende Notierung:
"log", ohne Basis, steht für den Log. zur Basis 10.
"ln" steht für den Logarithmus naturalis, d.h., log zur Basis "e"...
...Keine Sorge wenn ihr grad nicht wisst was "e" ist.
Für den Fall dass wir eine andere Basis benutzten deuten wir die Basis mit einem Index an.
Also, Log_a ist Log zur Basis "a".
Hier sind ein paar interessante Fakten über Logarithmen.
Der Log. zur Basis 10 von 10^m gleicht immer m.
Und, im Allgemeinen, Log. zur Basis a von x^b...
...ist immer b mal log zur Basis a von x.
Man kann also immer den Exponenten aus dem log herausnehmen.
Diesen Fakt kann man einfach nachweisen.
Das werde ich jetzt nicht vormachen. Ich überlasse das als Übung für euch.
Angenommen ihr wollt den log einer Nummer berechnen...aber die Basis stimmt
nicht mit dem eures Taschenrechners überein...
...typischerweise berechnen diese nur den Log. zur Basis 10
oder Log. zur Basis e, also ln. Ihr könnt dann diese Formel benutzten.
Log zur Basis 2 von irgendeiner Zahl x ist gleich...
log zur Basis 10 von x, geteilt durch den log zur Basis 10 von 2.
Ihr könnt das anwenden um den Log. zur Basis 2 von x zu berechnen.
Im Allgemeinen gilt: log zur Basis a von x ist gleich log zur Basis b von x...
geteilt durch den log zur Basis b von a.
Ihr könnt auch nachweisen dass diese Formel stimmt.
Ich will das nicht jetzt machen, aber wir werden von dieser Formel Gebrauch machen.
Jetzt könnt ihr ein kleines Quiz machen um euer Verständnis von diesem Thema zu testen.