2.5. Traseul cu periodicitate care se dublează spre haos
Acum, haideți să vedem un model creat de NetLogo pentru diagrama logaritmică.
Acest model poate fi accesat de pe pagina cu materiale pentru curs.
Acest model va ilustra
ceea ce v-am aratat în cursul anterior
adică, parabola generată de diagrama logaritmică
și anume, cum se modifică traictoria formată din puncte
de-a lungul timpului.
Aici pot să setez valoarea lui R cu ajutorul slider-ului
și pot seta
valoara inițiala pentru x (x0), astfel încât R = 2, x0 = 0,2000.
Aceasta este diagrama logaritmică
Fac click pe (Setup) și programul desenează parabola.
Puteți vedea cum creez un grafic pentru x indice t pe x indice (t+1)
Dacă x indice t este 0,2 atunci x indice (t+1) este 0,32
De fiecare dată când fac click pe (GO) poziția sistemului înaintează cu o secvență temporală.
Acum avem x indice t = 0.32 și x_(t+1) = 0.4352
iar punctul s-a mișcat.
Pe axa x avem valaorea 0.32 și pe axa y avem valoarea 0.4352.
Facem click pe (GO) încă odată și încă odată
și vedeți cum sistemul iterează mișcarea
până ajunge într-un punct fix atractor cu valoarea 0,5.
Și aici puteți vedea și graficul pentru x_t în timp
Aceastea sunt două modalități
de a vizualiza traiectoria diagramei.
Acum, dacă schimbăm valoarea lui x0.... dacă ridicăm valoarea la 0,9
de exemplu, 0,90285 și fac click pe (Setup)
avem aceași parabolă dar x0 este plasat într-un punct diferit
Avem punctul de start la 0,90285 iar urmatoarea secvență temporală va fi la 0,1754
puteți vedea punctul albastru în poziția inițială.
Facem click pe (GO)
Din nou...
Și vedeți că sistemul ajunge din nou la punctul fix de 0,5
și rămâne acolo.
Același lucru se întâmplă dacă modificăm valoarea lui x0 și o micșorăm până ajumgem la una foarte mică
cum este 0,01143.
Facem click pe (Setup)
Vedem punctul plasat inițial foarte aproape de 0.
Facem click pe (GO)
Fac click pe (GO) în mod repetat. Din nou sistemul ajunge la valoarea 0,5 și rămâne acolo.
Valoarea 0,5 este un punct fix atractor pentru acest sistem.
Indiferent de poziția de start a sistemului, acesta se oprește întotdeauna când ajunge la valoarea acestui atractor.
Acum modificăm valoarea lui R ca să vedem
cum se modifică rata de creștere a lui R pe măsură ce valoarea lui se mărește.
O modific... e cam dificil de setat cu precizie ... la 2,50
Trebuie să vă arăt un alt mod de a schimba valorile, dacă vreți o anumită valoare,
fac click dreapta pe (Slider),
aleg (Edit) și în fereastra care se deschide, în câmpul (Value),
introduc valoarea dorită.
Ok, și acum ce se întâmplă?
Fac click pe (Setup).
Acum parabola este mai înaltă
din cauză că am schimbat valoarea lui R.
Dacă schimbăm valoarea lui R
se schimbă și înălțimea parabolei.
Ok. Acum să presupunem că începem cu x0 = ...
intru in meniul (Edit)
și modific valaoarea lui x0 la 0,2. Ok
Fac click pe (Setup) din nou.
Avem valorile inițiale de 0,2 și 0,4
și fac click pe (GO) și vedem că sistemul ajunge repede la punctul fix cu valoarea de 0,6.
Acesta este raspunsul la întrebarea de la cursul antrior.
Dacă schimb din nou valoare lui x0 la aproximativ 0,9 și fac click pe (Setup)... Haideți să vedem ce se întâmplă.
Din nou, sistemul se oprește la 0,6
dar ajunge acolo pe o traictorie diferită.
Durează mai mult timp de această dată
Și din nou, dacă modific valoarea spre un număr foarte mic...
fac click pe (Setup) ...acum e aproape de 0.
Fac click pe (GO)
Din nou, sistemul ajunge încet la 0,6
Deci 0,6 este un punct fix atractor pentru acest sistem
care are o altă valoare a lui R.
Deci, vedem că valoarea lui R este cea care determină
dinamica fundamentală a sistemului.
Iar atunci când ne referim la dinamica fundamentală, avem în vedere
dacă există un anume atractor și ce fel de atractor este acesta în care se stabilizează sistemul
după un anumit număr de secvențe temporale.
Deci acest sistem are o "dinamică dependentă de un punct fix atractor"
unde punctul fix are valoarea de 0,6.
OK, hai să mai încercăm odată.
Setăm valoarea lui R la 2,8
Setăm valoarea lui x la 0,2 din nou.
Ok. Fac click pe (Set up)
Parabola este din nou înaltă.
Și haideți să vedem ce se întâmplă.
Acum puteți vedea... cum punctul se mișcă înainte și înapoi.
Durează mai mult până sistemul se stabilizează.
Și în final se stabilizează la valoarea de 0,6429
Țineți minte că acestea sunt valori aproximative pentru că
x_t este un număr real care poate avea mai multe zecimale
pe care noi le-am eliminat prin rotunjire.
Deci este posibil ca sistemul să ascileze pentru mai mult timp
dacă la valorile noastre adăugăm mai multe zecimale.
Dar în cele din urmă se stabilizează
la un punct fix.
Doar că durează mai mult. Acesta este unul din efectele
pe care le putem vedea dacă mărim valoarea lui R...
timpul în care un sistem se stabilizează la un punct fix este mai mare.
Un lucru pe care trebuie să-l rețineți în legătură cu NetLogo
este faptul că puteți seta numărul de zecimale pe care vreți să îl vedeți,
accesând casuțele de output.
Iar numarul maxim este 17.