1.4 DINÁMICAS NO LINEALES PARAMETROS Y BIFURCACIONES
El objetivo de este segmento es explorar. Qué pasa con los atractores
En la dinámica del mapa logístico, A medida que el parámetro R cambia.
A modo de reseña, esto es lo que pasa con El mapa logístico si empezaste en la
Condición inicial 0.2 y el parámetro Valor 2 y graficamos 50 iteraciones;
Rápidamente la trayectoria alcanza un punto fijo.
Y les mostré, cambiando la condición Inicial, realmente no cambia la
posición del punto fijo, simplemente cambia el transiente de la
Condición inicial al punto fijo.
Todas las condiciones iniciales que he explorado están en la cuenca de atracción.
de ese atractor. Son todas las gotas de lluvia corriendo hacia el mismo océano
Ahora voy a subir el parámetro R Lentamente y muestro lo que pasa...
Voy a volver donde empezamos La condición inicial 0.2 y el R en 2
elevo R a 2.2, luego 2.4, 2.6, empezarás a ver esto,
la Convergencia Oscilatoria mencionada en el último segmento, 2.8, converge
de manera oscilatoria pero la transiente se vuelve más larga.
Se ha tardado más en converger a ese punto fijo. Para 2.9 la transiente se
hace mucho más larga.
Esta Convergencia oscilatoria, juega un rol en el problema de la prueba del
segmento anterior.
Aaah! parece algo diferente, aquí no hay más punto fijo.
pero lo parece, debe andar cerca, hagamos unas pocas
iteraciones más.
Mmmm, parece que aún puede converger...
elevemos R un poco más y veamos ¿Qué pasa?
Todavía parece que podría converger en un punto fijo, de nuevo, esta
transiente es realmente larga. Subamos un poco y veamos qué pasa...
ahora, parece que el punto fijo se ha ido y algo está sucediendo.
Recuerden que dije que existen varios tipos de atractores,
Este es otro, llamado Órbita Periódica o Ciclo Límite, son sinónimos.
aquí el período es 2. Pueden imaginárselo como un año con muchísimos conejos en
mi patio, y el próximo año con muchos zorros, y el siguiente con
muchos conejos, y el próximo con muchos zorros. Lo que pasa ahora
en las poblaciones reales, es que el punto fijo explorado para valores bajos de R
es un punto de atracción fijo. Esto es una atracción de Órbita Periódica.
Puede verse que, aquí hay una convergencia a la órbita periódica.
Si comenzamos de un valor de parámetro diferente, obtendremos igual órbita
periódica, pero en dirección opuesta.
De hecho, hay un punto importante, muchas ploteadores, quieren trazar líneas
entre puntos. No es correcto cuando se trabaja con mapas, que
es un sistema discreto de tiempo. El tiempo no tiene sentido entre iteraciones
Pueda pensar que X puede ser 0,5, No existe, no
conecte sus puntos, cuando plotee iteraciones de un mapa.
OK, lo que piensa sucederá Si elevamos R un poco más, Aha!
A este valor, parece que los dos ciclos No existen.
Ha desaparecido el punto fijo y tenemos una convergencia hacia algo
Llamado un ciclo 4. A esto se llama ciclo límite u órbita Periódica
de período 4r.
Así deben escucharse estas dos orbitas, si enlazamos los ejes verticales
del mapa logístico a un piano.
Estos cambios de mi punto fijo a un ciclo 2, y de este a
un ciclo 4, mientras cambiamos R, es lo que llamamos Bifurcaciones
Ese término sugiere dividir en dos, pero su uso matemático es más general.
Significa que ha ocurrido un cambio en la topología del atractor. Regresaremos
más tarde a la topología de atractores. Por ahora, es suficiente decir que
una bifurcación es un cambio cualitativo en el atractor, No solo que un punto
fijo se mueva, desaparezca o que el período de una órbita
periódica cambie. Ahora tomé allí una palabra, Parámetro. R es un parámetro
de bifurcación en el mapa logístico, de hecho esa dinámica de forma fundamental
causa esos cambios cualitativos.
Mantengamos elevando el valor de ese parámetro observemos qué se ve
No salta un patrón a la vista. Las cosas no parecen converger
en ningún lugar, No a un Punto fijo, ni a una Órbita Periódica.
Hagamos una corrida más larga. De nuevo, no Parece que haya alguna convergencia.
Mientras más y más iteraciones hace, siquiera comienza a ver algunos
patrones, especialmente por ejemplo aquí, observe como algo se repite por momentos
puede ser, al menos, una órbita periódica, pero no lo es
Los patrones que comienza a ver aquí, son un Atractor Caótico. Y vamos a
vamos a dedicar un tiempo hablando sobre sus características y propiedades.
A veces, por eso, se les llama Atractores Extraños.
Volvamos al experimento que hicimos con los otros atractores, el punto fijo y el
de órbita periódica y variemos las condiciones iniciales, cuando hacemos eso
la trayectoria siempre converge al mismo atractor. Aquí también, pero
puede verse mejor ploteándolo en un dominio de tiempo, como este
lo raro es que los puntos se trazan fuera del mismo subconjunto de estados,
pero en orden diferente. Es como si cayeran astillas en un
remolino, como mencioné en el primer segmento.
Si deja caer astillas, en diferentes partes de un remolino, las astillas
trazarán la misma estructura pero en orden diferente.
La estructura de un Atractor Caótico es una parte profunda e importante
de las dinámicas No Lineales. Otra característica importante es la sensible
dependencia a las condiciones iniciales. Lo que hemos escuchado llamar
Efecto Mariposa. Esto lo expliqué en el primer segmento.
Aquí una lámina que resume algún vocabulario importante y conceptos
que he utilizado en esta primera unidad del curso.
Debe estar seguro que entiende el significado de cada uno de estos vocablos y
cómo se manifiestan en la dinámica del Mapa Logístico.
Ahora las láminas que uso en estas conferencias, son ayudas, no son
notas de conferencias. Y pueden ser un reto, particularmente, en vistas a
al hecho de que no existe un libro de textos para este curso.
Ahora, como explique en la unidad anterior, este curso reúne temas de
conferencias que he oído, mis conocimientos, Varios libros de texto, documentos,
por lo que no existe un texto único, no hay una sola fuente, es un bosquejo para
este curso como existen en otros cursos del Exploradores de Complejidad.
Estos videos constituyen la fuente principal de información
Están diseñados para ser cortos, auto- instructivos, con descripciones
individuales de los tópicos.
Si quieres investigar más profundo, o si hay algo que simplemente no entiendes,
Revise en los materiales suplementarios que aquí se encuentra
se incrementarán, en la medida que el curso avance,
y para cada unidad,
y en cada segmento de cada unidad, colocaré enlaces de cosas que podrá necesitar
para comprender esa unidad, para hacer las tareas, y además colocaré enlaces
que podrán ver, si hay alguna información contextual
que se le haya pasado, o qué será lo próximo que deberá leer si desea conocer más
acerca de esto.