Abbiamo parlato di come
le dinamiche chimiche possano portare
a comportamenti ciclici a al caos
e qui vogliamo renderlo un po' più esplicito
Un modello classico che è stato usato
per osservare questi tipi di fenomeni
è noto come il "Brusselatore".
È descritto in questo insieme di astratte
reazioni chimiche elencate qui
nel mezzo dello schermo.
Ora, queste reazioni chimiche
possono essere convertite in un insieme di due equazioni differenziali
assumendo di mantenere le concentrazioni
di A e B costanti nel sistema.
E, in questo caso, abbiamo aggiunto
queste diverse costanti di reazione, K1 e K2,
che descrivono le costanti di reazione
associate alle frecce sopra.
Il sistema può essere facilmente non dimensionato
per un sistema più semplice, dove abbiamo combinato i parametri
con parametri effettivi, un po' di A, un po' di B e così via.
Il sistema ha un semplice equilibrio
quando x=a (questo parametro effettivo)
e y=b/a (il rapporto dei parametri effettivi)
Inoltre, la cosa interessante di questo modello, è che
ciò a cui siamo interessati non è solo l'equilibrio
bensì la dinamica che porta all'equilibrio
e se l'equilibrio sia stabile.
Usando tecniche note come
analisi di stabilità, che sono un intero campo,
è possibile dimostrare che l'equilibrio
sarà instabile per b > a^2 + 1.
Diamo un'occhiata a cosa può sembrare.
Se b è sufficientemente inferiore a a^2 + 1,
allora potrete partire con qualche iniziale
concentrazione di x e y
e queste due sostanze chimiche avranno
qualche comportamento transitorio che porterà
ai due equilibri che abbiamo descritto
nelle slide precedenti.
Ora, se rendiamo b appena inferiore a a^2 + 1, molto vicino a a^2 + 1,
notiamo che si raggiunge lo stesso equilibrio
ma ora, nel comportamento transitorio
compaiono queste oscillazioni che,
nel tempo, svaniscono
e ci vuole molto tempo per raggiungere l'effettivo equilibrio.
E se rendiamo b appena superiore a a^2 + 1
quindi è il caso in cui è prevista instabilità
ora vediamo che abbiamo oscillazioni perpetue
Quindi il sistema passa naturalmente attraverso un'oscillazione;
torna naturalmente e periodicamente a un specifico stadio
e, in questo caso, quando velocemente succede,
quanto frequentemente questi stati si manifestano
la frequenza aumenta nel tempo.
Ora, un altro modo di guardare
a questi equilibri nell'insieme delle dinamiche,
è un diagramma di fase di x verso y
Ciò vuol dire osservare i valori appaiati
di queste due concentrazioni, x e y.
Quindi il tempo non è esplicito, eccetto per l'animazione
e nel primo caso, dove b
e molto meno, o significativamente meno
di a^2 + 1, allora vedremo che le
dinamiche hanno il semplice caso in cui
si parte da un qualsiasi punto nello spazio
e si raggiunge semplicemente questo equilibrio.
C'è un minimo comportamento transitorio
ma raggiungiamo un sistema fisso a punto singolo.
Questo caso in cui b è appena inferiore a a^2 +1
dove avevamo un comportamento dissipatorio fino a
un equilibrio di oscillazione transitoria
sembrerà qualcosa come questo nel grafico di base
Potete vedere che entriamo in una spirale
fino all'equilibrio che ci aspettavamo.
Quindi, ecco un'interessante
dinamica oscillatoria transitoria.
E se andiamo sopra a^2 +1
dove ci aspettiamo che il sistema sia instabile
allora abbiamo questo limite ciclico.
Quindi passeremo sempre attraverso
questo insieme di valori appaiati di x e y
periodicamente a frequenza crescente.
La cosa interessante di queste dinamiche
è che sono completamente deterministiche.
Quindi, non abbiamo inserito alcuna stocasticità nel sistema.
Abbiamo questo modo completamente deterministico
di ottenere oscillazioni nel tempo, e quindi
ci dice che solo le dinamiche inerenti le dinamiche chimiche, anche senza rumore di fondo,
possono portare a comportamenti oscillatori molto interessanti.
E che il comportamento oscillatorio può essere
anche più complicato di ciò che abbiamo descritto
Quindi, un classico sistema per osservare il caos
è il sistema Lorenz.
E allora, abbiamo valori accoppiati,
o abbiamo triplette di valori di concentrazioni x, y e z
ognuno relativo a queste equazioni differenziali
che sto mostrando qui in forma non dimensionale
Ciò fu originalmente scoperto
nella dinamica atmosferica da Ed Lorenz
e può essere mappato su
una varietà di sistemi, incluse alcune dinamiche chimiche.
Ora, la cosa interessante di questo caso
è che questo sistema origina anche equilibri fissi,
quindi dove x, y e z tendono ad un unico valore,
ma per gli altri valori parametrici nel sistema,
troveremo una tendenza verso dinamiche caotiche.
E questo è ciò a cui sembrano quelle dinamiche caotiche.
Quindi, guardano solo a x e y.
Quindi c'è un set dei valori di z
associati con tutte questi
e osserviamo solo
la proiezione nello spazio x, y.
Facendo questo, notiamo che abbiamo questa
oscillazione molto complicata dove
non si oscilla solo tra un gruppo
di valori complicati in x e y,
ma anche di transizione tra
questi die bacini di attrazione.