Naturalmente abbiamo un modello NetLogo di slot machine, creato dal nostra TA,
John Balwit. Se facciamo click su 'reset', mi mostra la slot con tre finestre, con i
frutti, e posso impostare il numero di giocate- 1 per iniziare - e faccio click
su "Pull Lever N Times". La leva è tirata una volta, abbiamo un nuovo
microstato, tiriamo di nuovo - 0h, qui abbiamo tre dello stesso tipo,
fortunati! Possiamo impostare il macrostato che ci interessa. Imposto
tre dello stesso tipo, e posso chiedere "quante probabilità ho in 1000 giocate".
Lo vediamo, scrivo una nota. Ad es. "Probabilità del
macrostato tre dello stesso tipo" - bene, abbiamo detto che ci sono 5 microstati
che sono inclusi in questo macrostato,
cioè ciliegia-ciliegia-ciliegia, limone-limone, limone, etc, e ci sono 125
possibili microstati, quindi la probabilità è
5/125 uguale a 0.04. Questa è la probabilità, se tiriamo la leva una volta,
che vediamo tre frutti dello stesso tipo, circa 4%. Quindi, il valore atteso di volte che vedremo il
nostro macrostato in 1000 giocate, sarà la probabilità per una giocata
moltiplicato per il numero di giocate,
che è uguale a 40. Vediamo ora quanto ci andiamo vicino,
é un valore atteso, ovviamente c'è casualità,
Faccio reset, e tiro la leva 1000 volte. Aumentiamo un po' la velocità,
e vediamo - diminuisco un po', quando vince, possiamo
diminuire la velocità e vedere il numero delle volte in cui c'è il macrostato
'vincita' cioè tre frutti dello stesso tipo - e questo
è il numero delle volte in cui non c'è il questo macrostato 'vincita'.
questoi sono il macrostato 'vincita' e il macrostato 'perdita' , quindi
stiamo verificando sperimentalmente la nostra teoria,
che dice che vedremo la vincita 40 volte - bene, 46.
Ovviamente, se giochiamo ancora e facciamo la media
probabilmente si andrà vicino a 40. Potete utilizzarlo
per il compito, che comprende altri tipi di macrostati,
che vedremo un po' più avanti. Torniamo ora alla discussione sull'entropia
e sulla meccanica statistica Ricordiamo il modello NetLogo
dei gas, dove ci sono due stanze, e una contiene le particelle lente, l'altra
le particelle veloci, e se apriamo, iniziano a mischiarsi e
questo è l'inizio e questa la fine, e abbiamo detto che qui l'entropia è
qui l'entropia è minore che qui, cioè, per la seconda
legge della termodinamica, l'entropia aumenta.
Nel nuovo linguaggio, di micro e macrostati, possiamo dire che
il microstato del sistema è la posizione e velocità di ogni particella,
cioè la posizione e identità di ciascuno dei frutti della slot machine.
Qui abbiamo un macrostato -
tutte le particelle veloci a destra, e tutte le lente a sinistra - e qui
abbiamo un altro tipo di macrostato - particelle lente e veloci completamente
mescolate. Bene, se pensate a ciò, il nostro macrostato a sinistra
corrisponde a meno microstati possibili di quelli
che corrispondono al macrostato di destra
- cioè ci sono più modi
in cui le particelle si possono configurare, in termini di
posizione e velocità,
per creare un macrostato di particelle mescolate,
veloci e lente,
che modi in cui si può avere questo macrostato più ordinato.
Da questa parte, ci sono moti diversi modi in cui
le particelle blu e rosse
possono essere individualmente configurate affinché
tutte le particelle veloci siano a destra e le lente a sinistra, ci sono
meno configurazioni rispetto a quelle in cui
sono mescolate. C'è un numero maggiore di posizioni in queste
particelle rosse di quelle blu
tutte mischiate - ed è vero per tutte le particelle.
Questa è la nozione di statistica meccanica di alta e bassa entropia, e
coincide molto bene con la nozione intuitiva di
stato "più disordinato" e "più ordinato"
Ci dà un nuovo modo per definire la seconda legge della termodinamica. Prima,
in origine, abbiamo detto che in un sistema isolato l'entropia aumenterà fino
a raggiungere il valore massimo. Ora, con la versione della meccanica statistica,
della seconda legge, che dice che in un sistema isolato, il sistema tenderà semore
ad un macrostato che corrisponde al massimo numero di microstati.
La definizione di entropia di Boltzmann è scritta sulla sua tomba
a Vienna, così nessuno la dimenticherà, e dice che l'entropia S di un
macrostato è un numero K per il logaritmo naturale (log)
del numero W di microstati che corrispondono a
quel macrostato. K è la costante di Boltzmann, e K e il logaritmo servono
per mantenere la proporzione. Potete veramente considerarla come
S uguale (o proporzionale) a W - cioè il numero di microstati
che corrispondono al macrostato. L'entropia è una misura di macrostato,
e misura quanti microstati corrispondono a quel macrostato.
L'idea generale è che se ci sono molti microstati che generano
un macrostato, questo è molto probabile.
Nella slot machine, il macrostato 'perdita' è moto più
probabile del macrostato 'vincita'. Vediamo che molti microstati
corrispondono al macrostato 'perdita' mentre pochi corrispondono
al macrostato 'vincita'. Intuitivamente una alta entropia
significa un macrostato più probabile. Nell'esempio dei gas,
se la porta è aperta, è più probabile che le molecole si mescolino, piuttosto che
rimangano o si configurino nello stato in cui le veloci sono a destra e
le lente a sinistra. E' più probabile che si mescolino, e siano in questo stato,
che in questo stato, quindi diciamo che questo stato ha una entropia
maggiore di questo.
Possiamo definire in un nuovo modo la seconda legge della termodinamica,
utilizzando la terminologia della meccanica statistica,
e dire che in un sistema isolato
il sistema tende a conseguire il macrostato più probabile. E' come
una tautologia, ma, veramente, è una delle idee più profonde di tutta la fisica, e
dà un significato alla nozione di "tempo".
Troverete alcune letture opzionali suggerite nella pagina del Materiale del Corso
che approfondisce questa idea più di quanto ho detto.