Bien sur nous avons un beau modele NetLogo pour notre machine à sous, qui fut écrit pour nous par notre T.A.
John Balwit. Si on clique Reset, apparait la machine à sous et ses trois fenetres avec leurs fruits.
Je peux régler le nombre de tirage voulu---je le règle sur 1, pour commencer, et clique sur
"tire le levier N fois". Le levier est donc actionné une 1re fois, nous avons un nouveau micro-état, j'actionne de nouveau--Haa--
Coup de chance, on en a 3 du même. On peut aussi régler sur un micro-état désiré. Je vais donc le régler sur
3 du meme genre, OK...et je peux demander "combien de fois pourrais je tirer cela en 1000 coups ?".
Bon, voyons voir cela, je vais le faire en prenant des notes. Donc ma note sera, disons,
"probabilité de voir le macro-état: 3 identiques"---On a dit qu'il y avait 5 micro-états possibles dans ce macro-état
qui sont cerise-cerise-cerise, citron-citron-citron Etc... Sur un total de 125
micro-états possibles, la probabilité sera donc de 5 divisé par 125 --- mis tout cela sur une ligne ---
5 divisé par 125 soit 0,04. C'est donc la probabilité, si l'on tire le levier 1 fois, pour en avoir
3 identiques. 4%. Donc, le nombre de fois attendu ou nous verrons notre macro-état en 1000 tirages
sera égal à la probabilité pour un tirage fois le nombre de tirages.
qui est égal à 40. Voyons donc si nous en sommes proche -- c'est ce que nous attendons, car il y a bien sur le hasard.
Je vais donc remettre à zéro et tirer le levier 1000 fois. Nous allons accélérer un petit peu....
Et nous voyons... Ca ralentit un peu, quand ça tire un jackpot, on peut donc voir le jackpot
Et vous voyez ici le nombre de fois atteint le macro-état recherché---3 du même---
Et ici le nombre de fois où est tiré un non-macro-état
C'est à dire un macro-état "gagné" ou un macro-état "perdu"
Nous allons donc verifier expérimentalement notre théorie qui dit que nous devrions l'avoir 40 fois -- en fait 46.
Bien sur si nous recommençons encore et encore et que nous en faisions une moyenne
nous devrions obtenir une résultat très proche de 40. Vous pourrez donc utiliser ce modèle
pour faire les devoirs qui porteront sur d'autres sortes de macro-états
que nous verrons un peu plus tard. Revenons maintenant à notre discussion sur
l'entropie et la mécanique statistique. Rappellez vous notre modele NetLogo, celui des 2 gaz,
avec 2 chambres dont l'une contenait des particules lentes et l'autre des particules rapides,
nous avons ouvert une porte et elles ont commencé à se mélanger
Nous avions donc ceci au départ et cela à l'arrivée et nous avons dit que l'entropie était plus faible ici
qu'elle ne l'était la, c'est à dire, selon la 2eme loi de la thermodynamique, l'entropie a augmenté.
Dans notre nouveau langage, celui des micro et macro-états, nous pouvons dire que
le micro-état d'un système est la position et la vélocité de chaque particule -- comme la position et l'identité
de chaque fruit dans la machine à sous. Ici nous avons un macro-état --
les particules rapides à droite et les lentes à gauche -- et ici nous avons
une autre sorte de macro-état -- les particules rapides et lentes toutes mélangées.
Si l'on y réfléchit, le macro-état à main gauche correspond à une plus faible possibilité de micro-états
que le macro-état à main droite -- C;est a dire qu'il y a plus de manières possibles que les particules soient arrangées,
en terme de position et vélocité, pour créer un macro-état dans lequel rapides et lentes soient complètement mélangées
qu'il n'y a de manières pour obtenir ce macro-état bien plus ordonné.
Donc ici, sur ce coté, il y a plein de différentes manières dans lesquelles les particules bleues
pourrait être individuellement réparties et les particules rouges individuellement réparties pour que
toutes les particules rapides soient sur la droite et toutes les lentes sur la gauche.
Juste qu'il y a moins d'arrangements possibles que dans celui ou elles sont toutes melangées.
Alors qu'il y a pleins d'endroits différents où ces particules rouges pourraient être, de même pour les bleues,
pour être toutes mélangées -- Et c'est vrai pour toutes les différentes paticules.
C'est donc la notion, en mécanique statistique, de plus haute ou plus basse entropie,
qui correspond très bien avec notre notion intuitive d'état "plus en désordre" et "moins en désordre"
Cela donne une autre manière de présenter la 2eme loi de thermodynamique.
Avant, nous la présentions en disant que, dans un systeme isolé, l'entropie augmentera toujours jusqu'à
atteindre une valeur maximale, maintenant, on peut regarder la version de la statistique mécanique pour la 2me loi
qui dit que, dans un systeme isolé, le système progressera toujours
vers un état qui correspond à la possibilité maximum de micro-état.
Cette définition de l'entropie, selon Boltzmann, est bien gravée sur sa tombe à Vienne,
afin que personne ne l'oublie jamais, et sa définition stipule que, l'entropie S d'un macro-état
est un nombre k fois le logarithme naturel -- c'est ce "log" le "logarithme naturel" --
du nombre W de micro-états correspondant à ce macro-état.
k est appellé la constante de Boltzmann -- la constante et le logarithme étant la juste pour
transformer l'entropie en une unité particuliere. On peut donc vraiment le voir comme si
S égale W -- l'entropie de Boltzmann égale, ou est proportionnelle, en un sens,
au nombre de micro-état correspondant au macro-état. L'entropie est donc la mesure d'un macro-état,
et cela mesure le nombre de micro-états correspondant à un macro-état.
L'idée générale est que plus un macro-état a de possibiltés d'être géneré par des micro-états, plus il a de probabilités d'être.
Ainsi, pour notre machine à sous, le macro-état "perdu" est bien plus probable
que le macro-état "gagné", et nous avons vu que beaucoup plus de micro-états
correspondent au macro-état "perdu" qu'à celui de "gagné". Intuitivement donc,
une haute entropie veut juste dire une plus forte probabilité de macro-état. Ou, suivant notre exemple sur le gaz,
il est bien plus probable, si la porte est ouverte, que les molécules se mélangent plutot
qu'elles restent ou recréent cette état dans lequel les rapides sont sur la droite
et les lentes sur la gauche. Il est bien plus probable qu'elles soient mélangées et soient dans cet état
plutot que dans celui la; on peut donc dire que cet état a une plus haute entropie que cet état.
Nous allons maintenant reformuler une dernière fois cette 2me loi de la thermodynamique,
en utilisant la terminologie de la mécanique statistique qui dit que, dans un système isolé,
le système tendra à progresser vers le macro-état le plus probable.
Cela apparait ainsi comme une tautologie, mais en fait c'est l'une des plus profondes idées en physique, jusqu'à donner du sens
à la notion de "temps". Vous trouverez des suggestions de lecture dans notre "Course material page"
pour aller plus en profondeur dans ce concept que je n'en ais eu le temps pour ce cours.