3.2 A CURVA DE KOCH

A questão com que fomos deixados foi,

"Qual é o real comprimento de um objeto?", tal como um litoral, que é um fractal e tem rugosidades autossimilares em diferentes escalas.

Assim como faremos para todos os conceitos complexos desse curso, vamos abordar essa questão olhando para um modelo simplificado, idealizado.

Primeiro, eu preciso ressaltar que fractais estão profundamente conectados aos sistemas dinâmicos, por meio de conceito de iteração.

Isto é, fractais são criados por meio de um processo iterativo, que nos lembra a iteração que fizemos no exemplo do Mapa Logístico.

Para ilustrar isto, vou mostrar um exemplo particular, simples (mas bonito), de fractal chamado Curva de Koch.

Ele foi inventado no início do século XX por uma matemática sueca chamada Helga von Koch.

Nós construímos esse fractal ao começar com uma curva simples.

Aqui, um segmento de linha reta, e vamos aplicar uma regra simples de iteração nesta curva.

Essa regra simples diz que, a cada passo sucessivo, tomamos cada segmento, deletamos seu segmento central,

e substituímos esse segmento por um ângulo no qual cada lado é um terço do comprimento do segmento original.

Agora temos uma nova figura com quatro segmentos, cada segmento de comprimento um terço do comprimento do segmento original.

Agora, indo para o próximo passo, para iterar isto, aplicamos a mesma regra a cada um desses quatro segmentos.

Isto é, para cada segmento, apagamos um terço do segmento central...

e substituímos esse segmento central por um ângulo cujos lados têm um terço do comprimento do segmento original.

É claro, estou fazendo tudo à mão, assim as proporções são apenas aproximadas, mas dá para ter uma ideia.

Agora temos uma nova figura com dezesseis segmentos e podemos iterar mais uma vez aplicando nossa regra.

Apague o segmento central de cada segmento e substitua esse segmento central por um ângulo cujos lados têm um terço do comprimento do segmento original.

Bem, espero que tenham entendido a ideia, mas vamos tentar fazer isso de uma forma mais organizada

Eu adaptei um dos modelos da biblioteca do Netlogo, denominado KochCurve.nlogo.

e coloquei na nossa página de materiais do curso. Vamos dar uma olhada aqui.

Se executarmos o SETUP, vamos ter nosso segmento de linha, que é esse segmento de linha vermelha.

E toda vez que eu clicar no "step" ele vai aplicar a nossa regra. Aqui vamos nós.

Aplique outra vez. Agora ele aplica a mesma regra em cada segmento, e assim por diante.

Depois que iterarmos várias vezes, podemos ver que em algum sentido, isto poderia ser considerado um litoral idealizado.

Agora podemos perguntar, à medida que iterarmos um número crescente de vezes, " Qual é o comprimento deste litoral? "

Podemos começar medindo o comprimento da curva no nível 0, que obtemos clicando em SETUP, que é apenas o segmento original.

Então podemos medir o comprimento nos níveis 1, 2, 3, 4, e assim por diante.

Medir o comprimento nesses níveis sucessivos é basicamente o processo de diminuir a nossa régua a cada passo.

Vamos voltar para o nível zero, onde temos o nosso segmento original. Nosso "segmento linha".

Assim agora, vamos fazer uma tabela fazendo uma anotação aqui.

Estou usando uma fonte pequena para ter tudo numa única linha.

E vou medir em cada nível o comprimento do segmento - denominado "SegLength" ,

o número de segmentos (chamado de "NumSegs"), e o comprimento da curva.

Para o segmento inicial (que corresponde ao nível 0) este é o comprimento do segmento, que vamos apenas chamar de L,

O número de segmentos é um, assim o comprimento da curva é simplesmente L.

OK, vamos melhorar isso um pouco.

Eu vou somente esticá-lo, assim isso nos lembrará do que estamos medindo em cada nível.

Agora vamos para o nível 1 e aplicamos a nossa regra.

Cada novo segmento tem um terço do comprimento do nosso segmento original e há um total de quatro segmentos.

de modo que o comprimento total da figura é 4/3 L.

E quanto ao nível 2? Aplicamos a nossa regra para cada segmento do nível 1.

Isto é, aplicamos isso quatro vezes, A nova figura se parece com isto aqui.

Agora, um teste rápido: Qual é o comprimento da figura neste nível?